2010-浙江卷理-12 填-三视图

本题导读

本题考查由三视图还原组合几何体（正四棱台与正四棱柱），并计算其总体积。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(理)） 若某几何体的三视图（单位：$\mathrm{cm}$）如图所示，则此几何体的体积是$\underline{}$ ${\mathrm{cm}}^3$.

🔍【思路分析】

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1. 分析三视图还原几何体：

• 上半部分：正视图与侧视图为等腰梯形（上底 $4$，下底 $8$，高 $3$），俯视图为两个同心正方形，为正四棱台（上底面边长 $a_1=4$，下底面边长 $b_1=8$，高 $h_1=3$）。
• 下半部分（注：三视图上半部分顶端直立段）：正视图与侧视图上部为高 $2$、宽 $4$ 的矩形，俯视图为边长 $4$ 的正方形，为正四棱柱（底面边长 $a_2=4$，高 $h_2=2$）。

2. 分别计算各部分体积并求和：

• 柱体体积 $V_{\text{柱}}=S_{\text{底}}\cdot h_2=4^2\cdot 2=32$；
• 台体体积 $V_{\text{台}}=\frac{1}{3}{h}_1\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2}\right)=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot \left(4^2+8^2+\sqrt{4^2\cdot 8^2}\right)=112$；
• 总体积 $V=32+112=144$。

✅【答案】

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$144$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：还原几何体结构 由三视图可知，该几何体自上而下由两部分组合而成：

• 上部分：高 $h_1=2$ 的正四棱柱（长方体），底面是边长为 $4\mathrm{cm}$ 的正方形；
• 下部分：高 $h_2=3\mathrm{cm}$ 的正四棱台，上底面是边长 $a=4\mathrm{cm}$ 的正方形，下底面是边长 $b=2+4+2=8\mathrm{cm}$ 的正方形。

第二步：计算各部分体积

1. 上部分正四棱柱的体积 $V_1$： $V_1=4\times 4\times 2=32({\mathrm{cm}}^3)$

2. 下部分正四棱台的体积 $V_2$： 上底面积 $S_1=4^2=16$，下底面积 $S_2=8^2=64$。 $V_2=\frac{1}{3}{h}_2\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2}\right)=\frac{1}{3}\times 3\times (16+64+\sqrt{16\times 64})$ $=1\times (80+32)=112({\mathrm{cm}}^3)$

第三步：计算总体积 $V=V_1+V_2=32+112=144({\mathrm{cm}}^3)$

故答案为：$144$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图还原四棱台与四棱柱的组合体，棱台体积公式 $V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$。
2. 核心方法：识图拆分为柱体与台体 $\to$ 精确读取下底面边长 $2+4+2=8\to$ 分别代入公式求和。
3. 避坑指南：下底面边长需将图中的段长相加 $2+4+2=8$，切勿误认为是 $4$ 或 $6$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：立体几何三视图体积计算经典考题。
2. 结论推广：四棱台可由大正四棱锥减去小正四棱锥补形计算 $V_{\text{台}}=\frac{1}{3}\cdot 8^2\cdot 6-\frac{1}{3}\cdot 4^2\cdot 3=128-16=112$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

$144$

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-12 填-三视图五棱柱体积
• 2012-江西卷文-07 单-三视图六棱柱体积
• 2012-浙江卷文-03 单-三视图棱锥体积