2010-浙江卷理-13 填-抛物线

本题导读

本题考查抛物线焦点坐标、中点坐标公式及抛物线定义中点到准线距离的转化。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(理)） 设抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点为 $F$，点 $A(0,2)$. 若线段 $FA$ 的中点 $B$ 在抛物线上，则 $B$ 到该抛物线准线的距离为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出焦点 $F$ 与中点 $B$ 的坐标：

• 焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$，点 $A(0,2)$。
• 由中点坐标公式得 $B\left(\frac{p}{4},1\right)$。

2. 求参数 $p$：

• 将点 $B\left(\frac{p}{4},1\right)$ 代入抛物线方程 $y^2=2px$，解出 $p=2$。

3. 计算距离：

• 抛物线准线方程为 $x=-\frac{p}{2}=-1$。
• 根据抛物线定义，点 $B\left(\frac{1}{2},1\right)$ 到准线的距离等于 $x_B+\frac{p}{2}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$。

✅【答案】

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$\frac{3\sqrt{2}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定焦点 $F$ 与中点 $B$ 的坐标 已知抛物线 $y^2=2px(p>0)$，其焦点坐标为 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$。 已知点 $A(0,2)$，线段 $FA$ 的中点 $B$ 的坐标为： $x_B=\frac{\frac{p}{2}+0}{2}=\frac{p}{4},y_B=\frac{0+2}{2}=1⟹B\left(\frac{p}{4},1\right)$

第二步：求参数 $p$ 的值 因为点 $B$ 在抛物线 $y^2=2px$ 上，将 $B\left(\frac{p}{4},1\right)$ 的坐标代入抛物线方程： $1^2=2p\cdot \frac{p}{4}⟹\frac{p^2}{2}=1⟹p^2=2⟹p=\sqrt{2}$

第三步：求点 $B$ 到准线的距离 抛物线的准线方程为 $x=-\frac{p}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。 由抛物线的几何定义，抛物线上任意一点到准线的距离等于该点横坐标加上 $\frac{p}{2}$： $d=x_B+\frac{p}{2}=\frac{p}{4}+\frac{p}{2}=\frac{3p}{4}$

代入 $p=\sqrt{2}$： $d=\frac{3\sqrt{2}}{4}$

故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$、准线 $x=-\frac{p}{2}$ 与定义法求距离 $d=x+\frac{p}{2}$。
2. 核心方法：中点公式确定点 $B$ 坐标 $\to$ 代入方程解 $p\to$ 利用定义求距离 $d=\frac{3p}{4}$。
3. 避坑指南：计算中点坐标时注意 $x_B=\frac{p}{4}$（容易误算成 $\frac{p}{2}$）；化简得 $p=\sqrt{2}$，距离表达式为 $\frac{3\sqrt{2}}{4}$，不要遗漏根号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：抛物线几何性质与定义应用基础考题。
2. 结论推广：对抛物线 $y^2=2px$，过焦点 $F$ 与 $y$ 轴上点 $A(0,a)$ 的中点 $B$ 满足距离 $d=\frac{3p}{4}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-11 单-抛物线切线与圆
• 2011-大纲卷理-10 单-抛物线
• 2011-大纲卷理-21 解-抛物线焦点