2010-浙江卷理-15 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列求和公式与代数变形，通过构造关于 $a_1$ 的二次方程，利用判别式 $\Delta \ge 0$ 求出公差 $d$ 的取值范围。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(理)） 设 $a_1,d$ 为实数，首项为 $a_1$，公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，满足 $S_5{S}_6+15=0$，则 $d$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用 $a_1$ 和 $d$ 表示 $S_5$ 与 $S_6$：

• $S_5=5a_1+\frac{5\times 4}{2}d=5a_1+10d=5(a_1+2d)$；
• $S_6=6a_1+\frac{6\times 5}{2}d=6a_1+15d=3(2a_1+5d)$。

2. 代入已知条件化简： $S_5{S}_6+15=0⟹5(a_1+2d)\cdot 3(2a_1+5d)+15=0$ 两边同除以 $15$： $(a_1+2d)(2a_1+5d)+1=0⟹2a_1^2+9d{a}_1+(10d^2+1)=0$
3. 主元转化求判别式： 把上式看作关于 $a_1$ 的一元二次方程，因为存在实数 $a_1$，所以该一元二次方程必有实根，即判别式 $\Delta \ge 0$。

✅【答案】

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$(-\infty ,-2\sqrt{2}]\cup [2\sqrt{2},+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：代入求和公式 由等差数列前 $n$ 项和公式： $S_5=5a_1+10d,S_6=6a_1+15d$

代入条件 $S_5{S}_6+15=0$： $(5a_1+10d)(6a_1+15d)+15=0$

提取常数系数： $15(a_1+2d)(2a_1+5d)+15=0$

两边同除以 $15$ 得： $(a_1+2d)(2a_1+5d)+1=0$

第二步：整理为关于 $a_1$ 的一元二次方程 展开得： $2a_1^2+5d{a}_1+4d{a}_1+10d^2+1=0$ $2a_1^2+9d{a}_1+(10d^2+1)=0$

第三步：利用判别式求解 $d$ 的范围 因为 $a_1$ 为实数，关于 $a_1$ 的一元二次方程有实数解，其判别式必须满足 $\Delta \ge 0$： $\Delta =(9d{)}^2-4\times 2\times (10d^2+1)\ge 0$ $81d^2-80d^2-8\ge 0$ $d^2-8\ge 0⟹d^2\ge 8$

解得： $d\le -2\sqrt{2}\text{或}d\ge 2\sqrt{2}$

故答案为：$(-\infty ,-2\sqrt{2}]\cup [2\sqrt{2},+\infty )$（或 $d\le -2\sqrt{2}$ 或 $d\ge 2\sqrt{2}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列前 $n$ 项和公式与二次方程实根判别式 $\Delta \ge 0$ 的应用。
2. 核心方法：主元法（将含两个未知量 $a_1,d$ 的等式转化为关于 $a_1$ 的方程）$\to \Delta \ge 0$ 求解 $d$ 的范围。
3. 避坑指南：化简过程注意提取公因数 $15$，降低系数计算难度；最后开方得 $d^2\ge 8⟹|d|\ge 2\sqrt{2}$，切勿遗漏负数区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：等差数列基本量计算与二次方程判别式法综合题。
2. 结论推广：若 $S_m{S}_n+k=0$，均可化为关于 $a_1$ 的二次方程，利用判别式求公差 $d$ 的范围。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-22 解-等差数列
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式