2010-浙江卷理-17 填-排列组合

本题导读

本题考查带有特定限制条件（特定时间段不测试指定项目，且每名学生上下午项目不重复）的排列组合问题，通过将上午与下午的测试项目安排进行独立分步解答。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(理)） 有 $4$ 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有$\underline{}$种.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析测试项目与人数分配：

• 共 $5$ 个项目，设为 $A,B,C,D,E$，其中 $D$ 代表“握力”，$E$ 代表“台阶”。
• 共有 $4$ 位同学。

2. 分析上午项目的安排：

• 上午不测 $D$（握力），且其余 $4$ 个项目 $A,B,C,E$ 都各测试一人。
• 这意味着上午测试的项目恰好是 $A,B,C,E$。把这 $4$ 个项目全排列分配给 $4$ 位同学，方法数为 ${\mathrm{A}}_4^4=24$ 种。

3. 分析下午项目的安排：

• 下午不测 $E$（台阶），且其余 $4$ 个项目 $A,B,C,D$ 都各测试一人。
• 这意味着下午测试的项目恰好是 $A,B,C,D$。
• 每位同学下午测试的项目不能与上午测试的项目重复：
  • 上午测 $A$ 的同学，下午可选 $B,C,D$（不能选 $A$）；
  • 上午测 $B$ 的同学，下午可选 $A,C,D$（不能选 $B$）；
  • 上午测 $C$ 的同学，下午可选 $A,B,D$（不能选 $C$）；
  • 上午测 $E$ 的同学，下午可选 $A,B,C,D$（因为下午没有 $E$ 项目，无自身重复限制）。

4. 计算下午的有效分配种数：

• 属于含有 $3$ 个元素限制（$A,B,C$ 不能测试原项目）与 $1$ 个无限制元素（原测试 $E$ 的同学）的错位排列变体，通过分类讨论求出方案数，再乘以上午的 ${\mathrm{A}}_4^4=24$ 种。

✅【答案】

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$264$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：安排上午的项目测试 上午不测“握力”项目（$D$），其余 $4$ 个项目（$A,B,C,E$）各由一名同学测试。 由于有 $4$ 位同学，安排上午项目的不同方案数为： $N_{\text{上}}={\mathrm{A}}_4^4=24$

第二步：安排下午的项目测试 不妨设上午 $4$ 位同学（设为甲、乙、丙、丁）分别测试了 $A,B,C,E$。 下午不测“台阶”项目（$E$），其余 $4$ 个项目（$A,B,C,D$）各测试一人，且每位同学下午测试的项目不能与自己上午的项目重复。

即安排项目 $A,B,C,D$ 给甲、乙、丙、丁 $4$ 位同学：

• 甲不能测 $A$；
• 乙不能测 $B$；
• 丙不能测 $C$；
• 丁无特殊限制（因为下午不包含 $E$）。

根据丁下午测试的项目进行分类讨论：

• 情形 1：丁下午测试 $D$ 项目 此时项目 $A,B,C$ 必须分配给甲、乙、丙 $3$ 位同学，且甲不能测 $A$、乙不能测 $B$、丙不能测 $C$。 这是 $3$ 个元素的完全错位排列，方案数为 $D_3=2$ 种：

• 甲测 $B$，乙测 $C$，丙测 $A$；

• 甲测 $C$，乙测 $A$，丙测 $B$。

• 情形 2：丁下午测试 $A,B,C$ 中的某一个项目

• 若丁测试 $A$（有 $1$ 种可能）： 剩余项目 $B,C,D$ 分配给甲、乙、丙。 由于甲不能测 $A$（ $A$ 已被丁测走，自然满足），乙不能测 $B$，丙不能测 $C$。

  • 甲有 $3$ 种选择（$B,C,D$）；
  • 若甲测 $B$，则乙可选 $C,D$，若乙选 $D$，丙选 $C$（违规），故只能乙选 $C$、丙选 $D$（$1$ 种）；
  • 若甲测 $C$，则乙选 $D$，丙选 $B$（$1$ 种）；
  • 若甲测 $D$，则乙选 $C$，丙选 $B$（$1$ 种）； 共有 $3$ 种填法。

• 若丁测试 $B$：同理，有 $3$ 种填法。

• 若丁测试 $C$：同理，有 $3$ 种填法。

故情形 2 下的总填法数为 $3\times 3=9$ 种。

综合两类情形，下午满足条件的安排方案数为： $N_{\text{下}}=2+9=11$

第三步：计算总安排方式数 根据分步乘法计数原理，总的不同安排方式数为： $N=N_{\text{上}}\times N_{\text{下}}=24\times 11=264$

故答案为：$264$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：排列组合、错位排列（Derangement）变体与独立分步计数。
2. 核心方法：上午全排列 ${\mathrm{A}}_4^4=24\to$ 下午对无限制元素（原来测 $E$ 的同学）分类讨论计算错位匹配种数 $11\to$ 乘法原理 $24\times 11=264$。
3. 避坑指南：计算下午分配方案时，切勿直接误用 4 元素的完全错位排列公式 $D_4=9$，因为第四位同学原来测的是 $E$，下午测试 $A,B,C,D$ 中的任何一个均不属于自身重复，故正确种数应为 $11$ 种而非 $9$ 种。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：经典的受限错位排列在真实生活场景中的应用。
2. 结论推广：若有 $n$ 个位置，$n-1$ 个元素有限制而 $1$ 个无限制，其错位安排种数为 $(n-1)!(1-\frac{1}{1!}+\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}}{(n-1)!})+\cdots =D_n+D_{n-1}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用