2010-浙江卷理-20 解-二面角

本题导读

本题考查平面图形沿直线翻折构建立体几何模型，通过利用面面垂直性质寻找高线建立空间直角坐标系，求解二面角的余弦值以及翻折线段几何长度。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(理)） 20. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E,F$ 分别在线段 $AB,AD$ 上，$AE=EB=AF=\frac{2}{3}FD=4$. 沿直线 $EF$ 将 $△AEF$ 翻折成 $△A^{\prime }EF$，使平面 $A^{\prime }EF\perp$ 平面 $BEF$.

(1) 求二面角 $A^{\prime }-FD-C$ 的余弦值；

(2) 点 $M,N$ 分别在线段 $FD,BC$ 上，若沿直线 $MN$ 将四边形 $MNCD$ 向上翻折，使 $C$ 与 $A^{\prime }$ 重合，求线段 $FM$ 的长.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 已知几何量计算与面面垂直：

• 矩形中已知 $AE=4,EB=4⟹AB=8$；$AF=4,\frac{2}{3}FD=4⟹FD=6⟹AD=10$。
• 在 $△A^{\prime }EF$ 中，$A^{\prime }E=AE=4,A^{\prime }F=AF=4$，为等腰直角三角形（$\angle A^{\prime }=90^{\circ }$）。
• 过 $A^{\prime }$ 作 $A^{\prime }H\perp EF$ 于 $H$。因为平面 $A^{\prime }EF\perp$ 平面 $BEF$，所以 $A^{\prime }H\perp$ 平面 $BEF$，垂足 $H$ 为 $EF$ 的中点。

2. 建立空间直角坐标系：

• 在底面 $△AEF$ 中，$AE=AF=4,\angle A=90^{\circ }$，取 $EF$ 中点 $H$。
• 以 $H$ 为原点，过 $H$ 平行于 $AF,AE$ 的方向建系，或者以 $A$ 为原点在底面建立坐标系更为简便。
• 设 $A(0,0,0)$，则 $E(4,0,0),F(0,4,0),D(0,10,0),C(8,10,0),B(8,0,0)$。
• $EF$ 中点 $H(2,2,0)$，$A^{\prime }$ 的投影在 $H$，且 $A^{\prime }H=2\sqrt{2}$（在 $\mathrm{Rt}△A^{\prime }EF$ 中斜边上的高），故 $A^{\prime }(2,2,2\sqrt{2})$。

3. 第 (1) 问：

• 求出平面 $A^{\prime }FD$ 的法向量与底面 $FDC$（即底面 $ABCD$）的法向量 ${\mathbf{n}}_0=(0,0,1)$，利用法向量夹角公式计算二面角的余弦值。

4. 第 (2) 问：

• 沿直线 $MN$ 翻折后 $C$ 与 $A^{\prime }$ 重合 $⟹$ 翻折线 $MN$ 是线段 $A^{\prime }C$ 的垂直平分线 $⟹MN\perp A^{\prime }C$，且 $MN$ 过 $A^{\prime }C$ 的中点 $P$。
• 点 $M$ 在线段 $FD$ 上，且 $M\in MN$，故 $\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }C}=0$。
• 设 $M(0,y_M,0)$，由向量垂直关系求出 $y_M$，进而算出线段 $FM$ 的长。

✅【答案】

点击查看答案

第（1）问二面角的余弦值为√33；第（2）问𝐹𝑀=214.

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算边长与建立空间直角坐标系 在矩形 $ABCD$ 中： $AE=EB=4⟹AB=8,AF=4,FD=6⟹AD=10$

在翻折前，$△AEF$ 为等腰直角三角形，$AE=AF=4,\angle A=90^{\circ }$。 取 $EF$ 的中点为 $H$，连结 $A^{\prime }H$。因为 $A^{\prime }E=A^{\prime }F=4$，所以 $A^{\prime }H\perp EF$。 因为平面 $A^{\prime }EF\perp$ 平面 $BEF$（即平面 $ABCD$），平面 $A^{\prime }EF\cap$ 平面 $BEF=EF$，且 $A^{\prime }H\subset$ 平面 $A^{\prime }EF$， 所以 $A^{\prime }H\perp$ 平面 $BEF$。

在 $\mathrm{Rt}△A^{\prime }EF$ 中，$A^{\prime }E=A^{\prime }F=4$，斜边 $EF=4\sqrt{2}$，中线（高）长： $A^{\prime }H=\frac{1}{2}EF=2\sqrt{2}$

以点 $A$ 为原点，分别以 $AB,AD$ 所在直线为 $x,y$ 轴，过点 $A$ 垂直于底面的直线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $A-xyz$：

各关键点坐标为：

• $A(0,0,0)$
• $E(4,0,0)$
• $F(0,4,0)$
• $D(0,10,0)$
• $C(8,10,0)$
• $B(8,0,0)$

因为 $H$ 为 $EF$ 中点，所以 $H(2,2,0)$。 因为 $A^{\prime }H\perp$ 底面 $ABCD$，且 $A^{\prime }H=2\sqrt{2}$，所以点 $A^{\prime }$ 的坐标为： $A^{\prime }(2,2,2\sqrt{2})$

---

(1) 求二面角 $A^{\prime }-FD-C$ 的余弦值

平面 $FDC$ 即为底面 $ABCD$，其一个法向量为： ${\mathbf{n}}_1=(0,0,1)$

下面求平面 $A^{\prime }FD$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_2=(x,y,z)$： 在平面 $A^{\prime }FD$ 中，已知： $\overrightarrow{FD}=(0,6,0)$ $\overrightarrow{F{A}^{\prime }}=(2-0,2-4,2\sqrt{2}-0)=(2,-2,2\sqrt{2})$

由 $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{FD}=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{F{A}^{\prime }}=0\end{array}$ 得： $\{\begin{array}{l}6y=0⟹y=0\\ 2x-2y+2\sqrt{2}z=0⟹2x+2\sqrt{2}z=0⟹x=-\sqrt{2}z\end{array}$

取 $z=1$，解得 $x=-\sqrt{2},y=0$. 故平面 $A^{\prime }FD$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(-\sqrt{2},0,1)$.

计算两法向量夹角的余弦值： $\cos ⟨{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2⟩=\frac{{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{1}{1\times \sqrt{(-\sqrt{2}{)}^2+0^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

由图可知，二面角 $A^{\prime }-FD-C$ 为锐角， 所以二面角 $A^{\prime }-FD-C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

---

(2) 求线段 $FM$ 的长

根据题意，沿直线 $MN$ 翻折四边形 $MNCD$ 使 $C$ 与 $A^{\prime }$ 重合， 说明直线 $MN$ 为线段 $A^{\prime }C$ 的垂直平分线.

求出线段 $A^{\prime }C$ 的中点 $P$ 的坐标： 已知 $A^{\prime }(2,2,2\sqrt{2}),C(8,10,0)$，所以： $P\left(\frac{2+8}{2},\frac{2+10}{2},\frac{2\sqrt{2}+0}{2}\right)=P(5,6,\sqrt{2})$

向量 $\overrightarrow{A^{\prime }C}$ 的坐标为： $\overrightarrow{A^{\prime }C}=(8-2,10-2,0-2\sqrt{2})=(6,8,-2\sqrt{2})$

因为点 $M$ 在线段 $FD$ 上，且 $F(0,4,0),D(0,10,0)$， 所以设点 $M$ 的坐标为 $M(0,y_M,0)$（其中 $4\le y_M\le 10$）.

求向量 $\overrightarrow{PM}$ 的坐标： $\overrightarrow{PM}=(0-5,y_M-6,0-\sqrt{2})=(-5,y_M-6,-\sqrt{2})$

因为 $MN\perp A^{\prime }C$，且 $M,P\in$ 平面 $MN$ 的垂直平分面上，所以 $\overrightarrow{PM}\perp \overrightarrow{A^{\prime }C}$，即： $\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }C}=0$

代入坐标计算数量积： $(-5)\times 6+(y_M-6)\times 8+(-\sqrt{2})\times (-2\sqrt{2})=0$ $-30+8y_M-48+4=0$ $8y_M-74=0⟹8y_M=74⟹y_M=\frac{37}{4}$

经检验，$\frac{37}{4}=9.25\in [4,10]$，符合题意.

故点 $M$ 的坐标为 $M\left(0,\frac{37}{4},0\right)$.

因为点 $F$ 的坐标为 $F(0,4,0)$，所以线段 $FM$ 的长为： $FM=|y_M-y_F|=\frac{37}{4}-4=\frac{21}{4}$

答：线段 $FM$ 的长为 $\frac{21}{4}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：折叠问题中的面面垂直性质、空间坐标系建立、法向量求二面角、翻折对折性质（中垂面应用）。
2. 核心方法：

• 第 (1) 问：以点 $A$ 建系，由面面垂直求高 $A^{\prime }H⟹A^{\prime }(2,2,2\sqrt{2})$，计算法向量夹角；
• 第 (2) 问：将“$C$ 与 $A^{\prime }$ 重合”转化为几何中垂面条件 $\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }C}=0$，解出 $M$ 的坐标。

3. 避坑指南：第 (2) 问无需求出点 $N$ 的坐标，利用 $M$ 在 $FD$ 上及 $PM\perp A^{\prime }C$ 的几何充要条件即可直接列出方程求解，避免冗余步骤。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：沿直线折叠使点重合问题（空间轴对称/面对称本质考查）。
2. 结论推广：若翻折后点 $P$ 与 $Q$ 重合，则翻折痕直线一定落在线段 $PQ$ 的垂直平分平面内。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角
• 2013-重庆卷理-19 解-利用空间向量求二面角
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程