2010-湖北卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数除法运算以及复数与复平面内点的对应关系。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 若 $\mathrm{i}$ 为虚数单位，图中复平面内点 $Z$ 表示复数 $z$，则表示复数 $\frac{z}{1+\mathrm{i}}$ 的点是 ()

A. $E$　　　　　　　B. $F$　　　　　　　C. $G$　　　　　　　D. $H$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由复平面图形读出点 $Z$ 的坐标，写出复数 $z$ 的代数形式。
2. 利用复数的分子分母同乘以分母共轭复数计算 $\frac{z}{1+\mathrm{i}}$ 的值。
3. 确定运算结果对应点的坐标并匹配选项。

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

由图可知，点 $Z$ 的坐标为 $(3,1)$，故复数 $z=3+\mathrm{i}$。 则复数 $\frac{z}{1+\mathrm{i}}=\frac{3+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{(3+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{3-3\mathrm{i}+\mathrm{i}+1}{2}=\frac{4-2\mathrm{i}}{2}=2-\mathrm{i}$。 其在复平面内对应的点坐标为 $(2,-1)$，即点 $H$。 故选 D.。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的代数化简及几何意义（复数 $a+b\mathrm{i}$ 对应复平面点 $(a,b)$）。
2. 核心方法：分子分母同乘分母的共轭复数进行分母实数化。
3. 避坑指南：读取网格坐标时需以原点 $O$ 为基准，注意实部与虚部的符号及对应轴。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》课后基础练习题。
2. 结论推广：对复数 $z=a+b\mathrm{i}$，除以 $1+\mathrm{i}$ 相当于在复平面内将向量逆时针旋转 $45^{\circ }$ 并缩小 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 倍。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算