2010-湖北卷理-06 单-等差数列

本题导读

本题考查系统抽样的抽样间隔计算、样本编号确定方法及按区间分类统计数据。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 将参加夏令营的 600 名学生编号为：001, 002, $\cdots$, 600. 采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003. 这 600 名学生分住在三个营区，从 001 到 300 住在第 I 营区，从 301 到 495 住在第 II 营区，从 496 到 600 住在第 III 营区. 三个营区被抽中的人数依次为 ()

A. 26, 16, 8　　B. 25, 17, 8　　C. 25, 16, 9　　D. 24, 17, 9

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算系统抽样的间隔 $k=\frac{N}{n}=\frac{600}{50}=12$。
2. 写出抽取的编号通项公式为 $a_j=3+12j$（其中 $j=0,1,2,\cdots ,49$）。
3. 分别计算落在三个营区编号区间 $[1,300]$、$[301,495]$、$[496,600]$ 内的 $j$ 的个数。

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B

✍【详细解析】

Abstract

系统抽样的间隔为 $k=\frac{600}{50}=12$。 首个抽中的号码为 $003$，则抽取的第 $j+1$ 个号码为 $x_j=3+12j$ ($j=0,1,\dots ,49$)。

• 第 I 营区 (001 至 300)： 令 $3+12j\le 300⟹12j\le 297⟹j\le 24.75$。 因为 $j$ 为整数，故 $j\in \{0,1,2,\dots ,24\}$，共 $25$ 人。

• 第 II 营区 (301 至 495)： 令 $301\le 3+12j\le 495⟹298\le 12j\le 492⟹24.83\le j\le 41$。 故 $j\in \{25,26,\dots ,41\}$，人数为 $41-25+1=17$ 人。

• 第 III 营区 (496 至 600)： 剩余人数为 $50-25-17=8$ 人（或验证 $496\le 3+12j\le 600⟹j\in \{42,43,\dots ,49\}$，共 $8$ 人）。

因此三个营区被抽中的人数依次为 25, 17, 8。 故选 B.。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：系统抽样基本概念、等差数列应用。
2. 核心方法：写出系统抽样的号码公式 $a_n=a_1+(n-1)k$，利用不等式组求项数。
3. 避坑指南：区间端点计数时切记加 1（即 $n=\text{末项}-\text{首项}+1$），避免漏算边界编号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版必修三第一章《统计》系统抽样应用例题。
2. 结论推广：若总体按规则划分区间，系统抽样中落在某区间内的样本数等于该区间长度除以抽样间隔 $k$ 的近似整值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-22 解-等差数列
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-大纲卷文-06 单-等差数列片段和