2010-湖北卷理-07 单-等比数列

本题导读

本题结合正六边形与其切圆的几何关系，考查等比数列的公比计算及无穷级数极限问题。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 如图，在半径为 $r$ 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设 $S_n$ 为前 $n$ 个圆的面积之和，则 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=$ ()

A. $2\pi r^2$　　　　　B. $\frac{8}{3}\pi r^2$　　　　　C. $4\pi r^2$　　　　　D. $6\pi r^2$

🔍【思路分析】

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1. 第 1 个圆半径为 $r_1=r$，面积为 $A_1=\pi r^2$。
2. 利用正六边形的边角关系，求出其内切圆（即第 2 个圆）的半径 $r_2=r\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}r$。
3. 得出面积比公比 $q={\left(\frac{r_2}{r_1}\right)}^2=\frac{3}{4}$，利用无穷等比数列求和公式 $S=\frac{A_1}{1-q}$ 计算极限。

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C

✍【详细解析】

Abstract

第 1 个圆的半径 $r_1=r$，面积 $A_1=\pi r^2$。 正六边形接于半径为 $r_1$ 的圆，其边长为 $r_1$，心边距（即正六边形内切圆半径）为： $r_2=r_1\cdot \cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}r$ 因此，各圆半径构成公比为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的等比数列。 各圆面积 $A_n$ 构成首项为 $A_1=\pi r^2$，公比为 $q={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$ 的等比数列。 故前 $n$ 个圆的面积之和极限为： ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\frac{A_1}{1-q}=\frac{\pi r^2}{1-\frac{3}{4}}=4\pi r^2$ 故选 C.。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正多边形与其内切圆/外接圆几何关系、无穷递降等比数列极限。
2. 核心方法：由几何图形相似性求出面积比公比 $q$，利用公式 $S=\frac{a_1}{1-q}$ 求和。
3. 避坑指南：注意面积公比是半径比的平方（即 $q=k^2=\frac{3}{4}$），而非半径比 $\frac{\sqrt{3}}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修2-2数列极限与几何图形相结合的经典数学文化创新题。
2. 结论推广：若正 $N$ 边形与其内切圆循环内接，外接圆与内切圆半径比为 $\cos \left(\frac{\pi }{N}\right)$，面积和极限公式为 $S=\frac{\pi r^2}{1-{\cos }^2\left(\frac{\pi }{N}\right)}=\frac{\pi r^2}{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{N}\right)}$。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件