2010-湖北卷理-13 填-立体几何

本题导读

本题考查圆柱与球的体积计算及其实际应用，重点在于根据高度与排水/淹没关系建立等量方程。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 圆柱形容器内部盛有高度为 $8\text{ cm}$ 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是$\underline{}$ $\text{cm}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设球的半径和圆柱底面半径均为 $R$。
2. 由“水恰好淹没最上面的球”可知放入球后水与球的总高度为 $3$ 个球的直径和，即 $H=6R$。
3. 根据“总体积 = 水的体积 + 3个球的体积”，建立关于 $R$ 的方程并求解。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

设球的半径为 $R\text{ cm}$，则圆柱形容器的底面半径也为 $R\text{ cm}$。 放入 3 个球后，水恰好淹没最上面的球，此时容器内水和球构成的圆柱体总高度为： $H=3\times 2R=6R\text{ cm}$ 此时圆柱体内水和球的总体积为： $V_{\text{总}}=\pi R^2\cdot H=\pi R^2\cdot (6R)=6\pi R^3$ 未放球前，水的体积为： $V_{\text{水}}=\pi R^2\cdot 8=8\pi R^2$ 3 个相同的球体积为： $V_{\text{球}}=3\times \frac{4}{3}\pi R^3=4\pi R^3$ 由体积关系 $V_{\text{总}}=V_{\text{水}}+V_{\text{球}}$ 得： $6\pi R^3=8\pi R^2+4\pi R^3$ 化简得： $2\pi R^3=8\pi R^2⟹R=4\text{ cm}$

【答案】：4

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆柱与球的体积公式（$V_{\text{柱}}=\pi R^{2}h$，$V_{\text{球}}=\frac{4}{3}\pi R^3$）。
2. 核心方法：等积法建模（总体积等于容器内各部分几何体体积之和）。
3. 避坑指南：明确“恰好淹没最上面的球”意味着总高度 $H=6R$ 而非 $3R$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版必修二《空间几何体的表面积与体积》中经典的浸水/排水体积法应用题。
2. 结论推广：若半径为 $R$ 的圆柱内盛有高为 $h$ 的水，放入 $n$ 个半径为 $R$ 的球后恰好淹没，则 $2n{R}^3=h{R}^2+\frac{4}{3}n{R}^3⟹R=\frac{3h}{2n}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-湖南卷文-04 单-三视图组合体体积
• 2011-辽宁卷文-10 单-球截面棱锥体积
• 2012-新课标卷理-11 单-球与棱锥的组合