2010-湖北卷理-14 填-分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量分布列性质及数学期望概念的基础计算。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 某射手射击所得环数 $\xi$ 的分布列如下：

$\xi$	7	8	9	10
$P$	$x$	$0.1$	$0.3$	$y$

已知 $\xi$ 的期望 $E\xi =8.9$，则 $y$ 的值为$\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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1. 根据分布列各概率之和等于 1 建立第一个方程：$x+0.1+0.3+y=1$。
2. 根据数学期望公式 $E\xi =\sum x_i{p}_i$ 建立第二个方程：$7x+8\times 0.1+9\times 0.3+10y=8.9$。
3. 联立二元一次方程组求解 $y$。

✅【答案】

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$0.4$

✍【详细解析】

Abstract

由分布列性质（各事件概率之和为 1）得： $x+0.1+0.3+y=1⟹x+y=0.6\text{(1)}$ 由数学期望的定义 $E\xi =8.9$ 得： $7x+8\times 0.1+9\times 0.3+10y=8.9$ $7x+10y+3.5=8.9⟹7x+10y=5.4\text{(2)}$ 将 ① 式变形为 $x=0.6-y$ 代入 ② 式： $7(0.6-y)+10y=5.4⟹4.2+3y=5.4⟹3y=1.2⟹y=0.4$

【答案】：0.4

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分布列概率和公式 $\sum P_i=1$ 与期望公式 $E\xi =\sum x_i{p}_i$。
2. 核心方法：方程组法（双条件建立联立方程组）。
3. 避坑指南：计算期望时注意各项对应乘积相加，避免符号和代数计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修2-32.3节《离散型随机变量的均值与方差》基础练习题。
2. 结论推广：对任意两参数未知的离散分布列，必可结合“概率和为 1”与“期望”两个条件列二元一次方程组确定参数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷理-17 解-期望