2010-湖北卷理-20 解-等比数列

本题导读

本题考查利用交叉相乘与代数化简求解非线性递推数列通项公式，以及利用反证法与整除性分析证明数列中任意三项不能成等差数列。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=\frac{1}{2}$，$\frac{3(1+a_{n+1})}{1-a_n}=\frac{2(1+a_n)}{1-a_{n+1}}$，$a_n{a}_{n+1}<0$ ($n\ge 1$)；数列 $\{b_n\}$ 满足：$b_n=a_{n+1}^2-a_n^2$ ($n\ge 1$).

(1) 求数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的通项公式；

(2) 证明：数列 $\{b_n\}$ 中的任意三项不可能成等差数列.

🔍【思路分析】

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1. (1) 将递推式交叉相乘展开去分母，整理得 $3(1-a_{n+1}^2)=2(1-a_n^2)$，变形为 $a_{n+1}^2-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\left(a_n^2-\frac{1}{3}\right)$。从而构造等比数列，结合 $a_n{a}_{n+1}<0$ 确定 $a_n$ 的符号正负交替，求出 $a_n$ 及 $b_n$ 的通项。
2. (2) 用反证法。假设存在 $b_p,b_q,b_r$ ($p<q<r$) 成等差数列，即 $b_p+b_r=2b_q$。代入 $b_n$ 通项后化简为关于 $2^p,2^q,2^r$ 的整除方程，分析等式两边的奇偶性与 2 的最高次幂矛盾，从而否定假设。

✅【答案】

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$an=(-1)n-1\surd 1-34(23)n-1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 将已知等式 $\frac{3(1+a_{n+1})}{1-a_n}=\frac{2(1+a_n)}{1-a_{n+1}}$ 交叉相乘得： $3(1+a_{n+1})(1-a_{n+1})=2(1+a_n)(1-a_n)$ $3(1-a_{n+1}^2)=2(1-a_n^2)$ $3-3a_{n+1}^2=2-2a_n^2⟹3a_{n+1}^2=2a_n^2+1$ 两边同时减去 1 得： $3\left(a_{n+1}^2-\frac{1}{3}\right)=2\left(a_n^2-\frac{1}{3}\right)⟹a_{n+1}^2-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\left(a_n^2-\frac{1}{3}\right)$

因为 $a_1=\frac{1}{2}$，所以 $a_1^2-\frac{1}{3}=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{12}$。 故数列 $\left\{a_n^2-\frac{1}{3}\right\}$ 是以 $-\frac{1}{12}$ 为首项、$\frac{2}{3}$ 为公比的等比数列。 则： $a_n^2-\frac{1}{3}=-\frac{1}{12}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}=-\frac{1}{8}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ 所以： $a_n^2=\frac{1}{3}-\frac{1}{8}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$

因为 $a_n{a}_{n+1}<0$，且 $a_1=\frac{1}{2}>0$，所以数列 $\{a_n\}$ 的各项符号正负相间，即 $a_n$ 与 $(-1{)}^{n-1}$ 同号。 故 $a_n$ 的通项公式为： $a_n=(-1{)}^{n-1}\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{1}{8}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}(n\ge 1)$

计算 $b_n$ 的通项： $b_n=a_{n+1}^2-a_n^2=\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{8}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}\right]-\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{8}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right]$ $b_n=\frac{1}{8}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-\frac{1}{8}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}=\frac{1}{8}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{24}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n(n\ge 1)$

(2) 证明： 假设数列 $\{b_n\}$ 中存在三项 $b_p,b_q,b_r$（其中 $p,q,r$ 为互不相同的正整数，不妨设 $1\le p<q<r$）成等差数列. 根据等差中项性质有： $b_p+b_r=2b_q$ 代入 $b_n=\frac{1}{24}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ 得： $\frac{1}{24}{\left(\frac{2}{3}\right)}^p+\frac{1}{24}{\left(\frac{2}{3}\right)}^r=2\times \frac{1}{24}{\left(\frac{2}{3}\right)}^q$ 两边同乘以 $24\times 3^r$ 得： $2^p\cdot 3^{r-p}+2^r=2\cdot 2^q\cdot 3^{r-q}=2^{q+1}\cdot 3^{r-q}$ 两边同除以 $2^p$ 得： $3^{r-p}+2^{r-p}=2^{q+1-p}\cdot 3^{r-q}$

因为 $1\le p<q<r$，所以 $r-p>0$，$q+1-p\ge 2$（因为 $q\ge p+1⟹q+1-p\ge 2$），$r-q\ge 1$。 分析上式两边的奇偶性与整除性：

• 左边 $3^{r-p}$ 为奇数（因为 3 的正整数次幂均为奇数），$2^{r-p}$ 为偶数（因为 $r-p\ge 2\ge 1$），故 左边为奇数 + 偶数 = 奇数；
• 右边 $2^{q+1-p}\cdot 3^{r-q}$ 中包含因子 $2^{q+1-p}$，由于 $q+1-p\ge 2$，故 右边必为偶数（且能被 4 整除）。

奇数不可能等于偶数，矛盾！ 故假设不成立，即数列 $\{b_n\}$ 中的任意三项不可能成等差数列.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列的构造与证明、反证法、整除性与奇偶性分析。
2. 核心方法：(1) 将式子变形为 $y_{n+1}=c{y}_n$ 形式构造等比数列；(2) 利用数论中奇偶性不匹配建立矛盾进行反证。
3. 避坑指南：第 (1) 问由 $a_n^2$ 求 $a_n$ 时，切记结合条件 $a_n{a}_{n+1}<0$ 确定开方后的正负号 $(-1{)}^{n-1}$；第 (2) 问必须明确字母的大小顺序关系 $1\le p<q<r$，否则无法准确判定两边幂次的奇偶性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修2-2反证法章节与选修2-1数列压轴题的深度结合。
2. 结论推广：对于公比为 $\frac{p}{q}$（$\gcd (p,q)=1$，且 $p,q$ 一奇一偶）的等比数列，其任意三项均不可能构成等差数列。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件