2010-湖南卷理-13 填-三视图

本题导读

本题考查由三视图还原三棱锥直观图并利用体积公式求解未知高度 $h$。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(理)） 图中的三个直角三角形是一个体积为 $20{\text{ cm}}^3$ 的几何体的三视图，则 $h=$ $\underline{}$ $\text{cm}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据三视图特点（正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形）判断几何体为一个有一条侧棱垂直于底面的三棱锥。
2. 确定底面直角三角形的两直角边分别为 5 和 6，高为 $h$。
3. 利用三棱锥体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}h=20$ 列方程求解 $h$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知： 该几何体是一个以直角三角形为底面的三棱锥，且有一条长为 $h$ 的侧棱垂直于底面。 底面直角三角形的两直角边长分别为正视图的宽 $5$ 和侧视图的宽 $6$。 故底面面积为： $S_{\text{底}}=\frac{1}{2}\times 5\times 6=15{\text{ cm}}^2$ 三棱锥的高为正视图和侧视图的高 $h$。 由三棱锥体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}h$ 得： $V=\frac{1}{3}\times 15\times h=5h$ 因为几何体体积为 $20{\text{ cm}}^3$，所以： $5h=20⟹h=4\text{ cm}$

【答案】：4

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由三视图还原空间几何体、三棱锥体积公式。
2. 核心方法：空间想象与三视图投影法则（长对正、高平齐、宽相等）。
3. 避坑指南：计算底面积时不要漏掉 $\frac{1}{2}$，计算三棱锥体积时不要漏掉系数 $\frac{1}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版必修二《空间几何体》三视图与体积计算经典题。
2. 结论推广：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，长分别为 $a,b,c$，则其体积为 $V=\frac{1}{6}abc$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-12 填-三视图五棱柱体积
• 2012-江西卷文-07 单-三视图六棱柱体积
• 2012-浙江卷文-03 单-三视图棱锥体积