2010-湖南卷理-17 解-二项分布

本题导读

本题考查利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和等于 1 计算参数 $x$，以及将频率视为概率建立二项分布模型求解离散型随机变量的分布列与期望。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(理)） 如图，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.

(1) 求直方图中 $x$ 的值；

(2) 若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 3 位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 $X$ 的分布列和数学期望.

🔍【思路分析】

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1. (1) 频率分布直方图中小矩形的组距均为 $1$，由所有小矩形的面积和为 1，即 $\sum (\text{高}\times \text{组距})=1$ 列方程求解 $x$。
2. (2) 月均用水量在 $[3,4)$ 吨的频率为 $0.1\times 1=0.1$。因为是有放回抽取 3 人，故居民数 $X\sim B(3,0.1)$，利用二项分布概率公式计算 $P(X=k)$，写出分布列并用期望公式 $EX=np$ 求解。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 由频率分布直方图性质可知，所有小矩形的面积之和等于 1. 已知组距为 $1$，各组的高依次为 $x,0.37,0.39,0.1,0.02$. 所以： $(x+0.37+0.39+0.1+0.02)\times 1=1$ $x+0.88=1⟹x=0.12$

(2) 解： 由直方图可知，月均用水量在 $[3,4)$ 吨的频率为： $p=0.1\times 1=0.1$ 将频率视为概率，从城市中随机抽取 1 位居民，其月均用水量在 3 至 4 吨的概率为 $p=0.1$. 因为抽取 3 位居民看作有放回的独立重复试验，所以月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 $X\sim B(3,0.1)$.

$X$ 的可能取值为 $0,1,2,3$. 计算各取值的概率： $P(X=0)=C_3^0\times 0.1^0\times 0.9^3=0.729$ $P(X=1)=C_3^1\times 0.1^1\times 0.9^2=3\times 0.1\times 0.81=0.243$ $P(X=2)=C_3^2\times 0.1^2\times 0.9^1=3\times 0.01\times 0.9=0.027$ $P(X=3)=C_3^3\times 0.1^3\times 0.9^0=0.001$

所以 $X$ 的分布列为：

$X$	0	1	2	3
$P$	$0.729$	$0.243$	$0.027$	$0.001$

$X$ 的数学期望为： $EX=np=3\times 0.1=0.3$ （或按公式计算 $EX=0\times 0.729+1\times 0.243+2\times 0.027+3\times 0.001=0.3$）.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图面积性质（面积和为 1）、二项分布的分布列与期望计算。
2. 核心方法：小矩形高为 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$，计算频率必须乘组距；有放回抽取问题识别为二项分布 $B(n,p)$ 模型。
3. 避坑指南：第 (1) 问计算高相加时注意不要算错小数；第 (2) 问列出分布列后需核对各概率和是否为 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版必修三《统计》与选修2-3《二项分布及其应用》的综合经典高考大题。
2. 结论推广：若离散型随机变量 $X\sim B(n,p)$，则其分布列满足 $P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$，期望 $EX=np$，方差 $DX=np(1-p)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

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• 2011-北京卷理-17 解-期望