2010-湖南卷理-19 解-等比数列

本题导读

本题结合冰川融化实际情境，考查椭圆与圆的边界方程建立、平行线间距离（或点到直线距离）的计算，以及结合等比数列求和计算移动时间。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(理)） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 $8\text{ km}$ 的 $A,B$ 两点各建一个考察基地. 视冰川面为平面形，以过 $A,B$ 两点的直线为 $x$ 轴，线段 $AB$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系（如图）. 在直线 $x=2$ 的右侧，考察范围为到点 $B$ 的距离不超过 $\frac{6\sqrt{5}}{5}\text{ km}$ 的区域；在直线 $x=2$ 的左侧，考察范围为到 $A,B$ 两点的距离之和不超过 $4\sqrt{5}\text{ km}$ 的区域.

(1) 求考察区域边界曲线的方程；

(2) 如图所示，设线段 $P_1{P}_2,P_2{P}_3$ 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 $0.2\text{ km}$，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍. 求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 在 $x>2$ 时，由圆的定义得方程 $(x-4{)}^2+y^2=\frac{36}{5}$；在 $x\le 2$ 时，由椭圆定义得 $2a=4\sqrt{5},c=4⟹b=2$，求出椭圆方程 $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{4}=1$。联立 $x=2$ 验证交点连续性，写出分段方程。
2. (2) 边界线 $P_1{P}_2$ 和 $P_2{P}_3$ 平行移动，求出考察区域内的点到两条线段所在直线的最小距离 $d_1,d_2$，比较确定总体最小距离 $d$。
3. 移动距离构成首项为 $0.2$、公比为 $2$ 的等比数列，前 $n$ 项和为 $S_n=0.2(2^n-1)\ge d$，求解最小正整数 $n$。

✅【答案】

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（1）在直线𝑥=2的右侧，考察区域是以𝐵(4,0)为圆心、半径为6√55的圆的内部，因此其边界曲线为

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 由题意，$A,B$ 关于 $y$ 轴对称且 $AB=8$，故 $A(-4,0),B(4,0)$.

• 当 $x>2$ 时： 考察范围边界为到点 $B(4,0)$ 的距离等于 $\frac{6\sqrt{5}}{5}$ 的点集，是以 $B(4,0)$ 为圆心，半径为 $r=\frac{6\sqrt{5}}{5}$ 的圆的一部分. 其方程为： $(x-4{)}^2+y^2=\frac{36}{5}(x>2)$

• 当 $x\le 2$ 时： 考察范围边界为到 $A(-4,0),B(4,0)$ 距离之和等于 $4\sqrt{5}$ 的点集，是以 $A,B$ 为焦点的椭圆的一部分. 设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$). 由定义知 $2a=4\sqrt{5}⟹a=2\sqrt{5}$，焦距 $2c=8⟹c=4$. 则 $b^2=a^2-c^2=(2\sqrt{5}{)}^2-4^2=20-16=4$. 其方程为： $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{4}=1(x\le 2)$

将 $x=2$ 代入圆的方程得：$(2-4{)}^2+y^2=\frac{36}{5}⟹y^2=\frac{16}{5}$； 代入椭圆方程得：$\frac{4}{20}+\frac{y^2}{4}=1⟹\frac{y^2}{4}=\frac{4}{5}⟹y^2=\frac{16}{5}$. 两曲线在 $x=2$ 处恰好连续相交.

故考察区域边界曲线的方程为： $\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{4}=1& (x\le 2)\\ (x-4{)}^2+y^2=\frac{36}{5}& (x>2)\end{array}$

(2) 解： 已知 $P_1(-5\sqrt{3},-1)$，$P_2\left(-\frac{8\sqrt{3}}{3},6\right)$，$P_3(8,6)$.

1. 对于线段 $P_2{P}_3$： $P_2,P_3$ 的纵坐标均为 $6$，故线段 $P_2{P}_3$ 所在直线方程为 $y=6$. 考察区域在 $y\le 2$（椭圆上顶点为 $(0,2)$，圆的上顶点纵坐标为 $\frac{6\sqrt{5}}{5}<3$）范围内. 考察区域上的点到直线 $y=6$ 的距离最小值为 $6-2=4\text{ km}$（当点为椭圆上顶点 $(0,2)$ 时取得）.

2. 对于线段 $P_1{P}_2$： 直线 $P_1{P}_2$ 的斜率为： $k=\frac{6-(-1)}{-\frac{8\sqrt{3}}{3}-(-5\sqrt{3})}=\frac{7}{\frac{7\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$ 故直线 $P_1{P}_2$ 的方程为 $y-6=\sqrt{3}\left(x+\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)⟹\sqrt{3}x-y+14=0$.

设椭圆 $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{4}=1$ 上平行于 $P_1{P}_2$ 且最靠近 $P_1{P}_2$ 的切线方程为 $\sqrt{3}x-y+m=0$. 联立直线与椭圆方程： $\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}x+m\\ \frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}⟹x^2+5(\sqrt{3}x+m{)}^2=20⟹16x^2+10\sqrt{3}mx+5m^2-20=0$ 由切线条件 $\Delta =(10\sqrt{3}m{)}^2-4\times 16\times (5m^2-20)=0$： $300m^2-320m^2+1280=0⟹20m^2=1280⟹m^2=64⟹m=\pm 8$ 因为直线 $P_1{P}_2$ 位于考察区域左上方，最靠近该直线的切线对应 $m=8$. 两平行线 $\sqrt{3}x-y+14=0$ 与 $\sqrt{3}x-y+8=0$ 之间的距离为： $d=\frac{|14-8|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{6}{2}=3\text{ km}$

比较可知，冰川边界线移动到考察区域所需的最小距离为 $d_{\min }=3\text{ km}$.

设移动到考察区域所需的最短时间为 $n$ 年（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）. 每年的移动距离组成首项为 $a_1=0.2$，公比为 $q=2$ 的等比数列. 前 $n$ 年移动的总距离为： $S_n=\frac{0.2(1-2^n)}{1-2}=0.2(2^n-1)$ 由 $S_n\ge 3$ 得： $0.2(2^n-1)\ge 3⟹2^n-1\ge 15⟹2^n\ge 16$ 解得 $n\ge 4$.

答：冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为 4 年.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：曲线分段方程建立、切线法求平行线间距离、等比数列求和与不等式求解。
2. 核心方法：(1) 在 $x=2$ 两侧分别利用圆与椭圆的第一定义建系列方程；(2) 平行线间距离公式 $d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。
3. 避坑指南：第 (2) 问中需分别讨论两条边界线 $P_1{P}_2$ 与 $P_2{P}_3$ 到考察区域的最小距离，取两者中的较小值（$3<4$），切勿漏算其中一条边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修2-1《圆锥曲线》与必修五《数列》结合的综合建模压轴题。
2. 结论推广：对椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，斜率为 $k$ 的切线方程为 $y=kx\pm \sqrt{a^2{k}^2+b^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件