2010-湖南卷理-21 解-等比数列

本题导读

本题为导数与数列综合的压轴题，重点考查通过求导确定三次函数的极小值点以建立数列递推关系，利用累加法求解通项，以及结合等比数列定义判定参数 $a$ 的取值范围。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(理)） 数列 $\{a_n\}$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$) 中，$a_1=a$，$a_{n+1}$ 是函数 $f_n(x)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}(3a_n+n^2)x^2+3n^2{a}_{n}x$ 的极小值点.

(1) 当 $a=0$ 时，求通项 $a_n$；

(2) 是否存在 $a$，使数列 $\{a_n\}$ 是等比数列？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 对 $f_n(x)$ 求导：$f_n^{\prime }(x)=x^2-(3a_n+n^2)x+3n^2{a}_n=(x-3a_n)(x-n^2)$。
2. 比较 $3a_n$ 与 $n^2$ 的大小确定极小值点：二次函数 $f_n^{\prime }(x)$ 开口向上，极小值点为较大的根，即 $a_{n+1}=\max \{3a_n,n^2\}$。
3. (1) 当 $a=0$ 时，可归纳得出当 $n\ge 2$ 时 $3a_n<n^2$，从而 $a_{n+1}=n^2$，直接写出 $a_n$。
4. (2) 探究 $\{a_n\}$ 能否为等比数列：等比数列要求公比 $q\ne 0$ 且各项均不为 $0$。若 $a_1=a\le 0$，后续项变为 $n^2\ne 0$，无法保持等比；若 $a>0$，分析 $a_{n+1}=\max \{3a_n,n^2\}$ 能否保持 $a_{n+1}=3a_n$ 恒成立，从而导出 $a$ 的范围。

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存在满足条件的 $a$，其取值范围是 $\left[\frac{4}{9},+\infty \right)$.

✍【详细解析】

Abstract

对函数 $f_n(x)$ 求导得： $f_n^{\prime }(x)=x^2-(3a_n+n^2)x+3n^2{a}_n=(x-3a_n)(x-n^2)$

令 $f_n^{\prime }(x)=0$，解得根为 $x_1=3a_n$，$x_2=n^2$. 因为 $f_n^{\prime }(x)$ 为二次项系数为 1 的二次函数，其图象开口向上， 所以函数 $f_n(x)$ 在大根处取得极小值，即： $a_{n+1}=\max \{3a_n,n^2\}=\{\begin{array}{ll}3a_n,& 3a_n\ge n^2\\ n^2,& 3a_n<n^2\end{array}$

(1) 解： 当 $a_1=a=0$ 时：

• $n=1$ 时，$3a_1=0<1^2=1$，故 $a_2=1^2=1$；
• $n=2$ 时，$3a_2=3<2^2=4$，故 $a_3=2^2=4$；
• $n=3$ 时，$3a_3=12>3^2=9$，故 $a_4=3a_3=12$；

对于 $n\ge 2$，由于 $3a_2=3<2^2$，从 $n=1$ 计算可得： $a_1=0$； 当 $n=2$ 时，$a_2=1$； 当 $n=3$ 时，$a_3=4$； 当 $n\ge 3$ 时，因 $a_3=4$，容易推得当 $n\ge 3$ 时，$3a_n$ 与 $n^2$ 的大小关系如下：

• $3a_3=12>3^2=9⟹a_4=12$；
• $3a_4=36>4^2=16⟹a_5=36$； 依此类推，当 $n\ge 3$ 时，恒有 $3a_n>n^2$，故 $a_{n+1}=3a_n$.

因此，当 $n\ge 3$ 时，$\{a_n\}$ 是以 $a_3=4$ 为首项、3 为公比的等比数列，即 $a_n=4\cdot 3^{n-3}$ ($n\ge 3$).

综上所述，当 $a=0$ 时，$a_n$ 的通项公式为： $a_n=\{\begin{array}{ll}0,& n=1\\ 1,& n=2\\ 4\cdot 3^{n-3},& n\ge 3\end{array}$

(2) 解： 假设存在 $a$ 使得数列 $\{a_n\}$ 是等比数列，则必有 $a_n\ne 0$ 对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 恒成立，且公比 $q\ne 0$.

1. 若 $a\le 0$： $a_1=a\le 0$，而 $3a_1=3a\le 0<1^2=1$，故 $a_2=1^2=1\ne 0$. 此时 $a_1$ 与 $a_2$ 异号或 $a_1=0$，且 $a_2=1$，$a_3=2^2=4$（因为 $3a_2=3<4$），公比 $\frac{a_3}{a_2}=4$，但 $\frac{a_2}{a_1}$ 不存在或不等于 4，故 $\{a_n\}$ 不可能是等比数列.

2. 若 $a>0$： 要使 $\{a_n\}$ 为等比数列，则对于任意 $n\ge 1$，必须满足 $a_{n+1}=3a_n$，即公比 $q=3$. 这就要求对任意 $n\ge 1$，恒有： $3a_n\ge n^2$

当 $a_{n+1}=3a_n$ 对任意 $n\ge 1$ 恒成立时，$\{a_n\}$ 是以 $a$ 为首项、3 为公比的等比数列，通项为： $a_n=a\cdot 3^{n-1}$ 代入条件 $3a_n\ge n^2$，即要求对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 恒有： $3\cdot a\cdot 3^{n-1}\ge n^2⟹a\cdot 3^n\ge n^2⟹a\ge \frac{n^2}{3^n}$

设 $g(n)=\frac{n^2}{3^n}$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)，计算 $g(n)$ 的最大值：

• $g(1)=\frac{1}{3}$；
• $g(2)=\frac{4}{9}$；
• $g(3)=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$；
• 当 $n\ge 3$ 时，$\frac{g(n+1)}{g(n)}=\frac{(n+1{)}^2}{3^{n+1}}\cdot \frac{3^n}{n^2}=\frac{(n+1{)}^2}{3n^2}=\frac{1}{3}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2\le \frac{1}{3}{\left(1+\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{16}{27}<1$，故 $g(n)$ 单调递减.

所以 $g(n)$ 的最大值为 $g(2)=\frac{4}{9}$. 故只需 $a\ge \frac{4}{9}$.

此时当 $a\ge \frac{4}{9}$ 时，$a\cdot 3^n\ge n^2$ 对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 恒成立，即 $3a_n\ge n^2$ 恒成立，从而 $a_{n+1}=3a_n$ 恒成立，数列 $\{a_n\}$ 为等比数列.

综上所述，存在满足条件的 $a$，其取值范围是 $\left[\frac{4}{9},+\infty \right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数求极值点、分段递推数列求通项、等比数列定义的恒成立条件转化。
2. 核心方法：求导判定二次函数极值点大根 $\max \{3a_n,n^2\}$，将等比数列存在性转化为 $a\ge \frac{n^2}{3^n}$ 在正整数集上的最大值求解。
3. 避坑指南：第 (1) 问计算 $a_n$ 时注意当 $n=1,2$ 时的分段不满足统一等比规律，需写成分段函数形式；第 (2) 问求 $g(n)=\frac{n^2}{3^n}$ 的最大值时需注意最大值在 $n=2$ 处取得（等于 $\frac{4}{9}$），而非 $n=1$ 处。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修2-2《导数及其应用》与必修五《数列》结合的综合压轴创新题。
2. 结论推广：对形如 $a_{n+1}=\max \{c{a}_n,f(n)\}$ 类型的递推数列，若要使其为等比数列，充要条件为 $a_1\cdot c^n\ge f(n)$ 对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 恒成立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件