2010-福建卷理-03 单-等差数列

本题导读

本题考查等差数列基本量的计算以及前 $n$ 项和最值问题的判定。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(理)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项和为 $S_n$. 若 $a_1=-11$, $a_4+a_6=-6$, 则当 $S_n$ 取最小值时, $n$ 等于()

A. 6　　　　　　　B. 7　　　　　　　C. 8　　　　　　　D. 9

🔍【思路分析】

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1. 利用等差数列性质 $a_4+a_6=2a_5$ 求出 $a_5$，结合 $a_1$ 求得公差 $d$ 和通项公式 $a_n$。
2. 确定通项正负切换的位置（即由负变正的临界项），从而找到 $S_n$ 取得最小值时的 $n$ 值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由等差数列性质，得 $a_4+a_6=2a_5=-6⟹a_5=-3$。 又 $a_5=a_1+4d⟹-3=-11+4d⟹d=2$。 所以通项公式为 $a_n=a_1+(n-1)d=-11+2(n-1)=2n-13$。

令 $a_n\le 0⟹2n-13\le 0⟹n\le 6.5$。 因此： 当 $n\le 6$ 时，$a_n<0$； 当 $n\ge 7$ 时，$a_n>0$。

要使前 $n$ 项和 $S_n$ 最小，需将所有负数项相加，即当 $n=6$ 时，$S_n$ 取得最小值。

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项公式与前 $n$ 项和的最值。
2. 核心方法：利用首项和公差求出所有负数项的个数（邻项变号法）。
3. 避坑指南：注意 $a_6=-1,a_7=1$，加到 $a_6$ 时累加值最小；若 $a_k=0$，则 $S_{k-1}$ 和 $S_k$ 同为最小值，需仔细区分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 选自必修五等差数列前 $n$ 项和最值典例。
2. 结论推广: 首项 $a_1<0,d>0$ 的等差数列，$S_n$ 极小值点满足 $a_n\le 0$ 且 $a_{n+1}\ge 0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-22 解-等差数列
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-大纲卷文-06 单-等差数列片段和