2010-福建卷理-07 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线标准方程的求解、向量数量积的坐标运算以及二次函数在给定区间上的最值问题。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(理)） 若点 $O$ 和点 $F(-2,0)$ 分别为双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1(a>0)$ 的中心和左焦点，点 $P$ 为双曲线右支上的任意一点，则 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{FP}$ 的取值范围为()

A. $[3-2\sqrt{3},+\infty )$　　B. $[3+2\sqrt{3},+\infty )$　　C. $\left[-\frac{7}{4},+\infty \right)$　　D. $\left[\frac{7}{4},+\infty \right)$

🔍【思路分析】

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1. 由左焦点坐标 $F(-2,0)$ 求出 $c=2$，结合 $b=1$ 求得 $a=\sqrt{3}$，确定双曲线方程及右支定义域。
2. 设 $P(x,y)$，写出向量 $\overrightarrow{OP}$ 和 $\overrightarrow{FP}$ 的坐标表示。
3. 计算数量积并消去 $y^2$，转化为关于 $x$ 的二次函数，求其在 $x\ge \sqrt{3}$ 上的最小值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为双曲线的左焦点为 $F(-2,0)$，所以 $c=2$。 由方程 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$ 可知 $b=1$。 根据 $a^2+b^2=c^2$，得 $a^2+1=4⟹a^2=3⟹a=\sqrt{3}$。 所以双曲线方程为 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$，右支点的横坐标满足 $x\ge \sqrt{3}$，且 $y^2=\frac{x^2}{3}-1$。

设 $P(x,y)$，则 $\overrightarrow{OP}=(x,y)$，$\overrightarrow{FP}=(x+2,y)$。 因此： $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{FP}=x(x+2)+y^2=x^2+2x+\left(\frac{x^2}{3}-1\right)=\frac{4}{3}{x}^2+2x-1$

设 $f(x)=\frac{4}{3}{x}^2+2x-1$，其中 $x\ge \sqrt{3}$。 二次函数 $f(x)$ 的对称轴为 $x=-\frac{2}{2\times \frac{4}{3}}=-\frac{3}{4}$。 因为 $-\frac{3}{4}<\sqrt{3}$，所以 $f(x)$ 在 $[\sqrt{3},+\infty )$ 上单调递增。

当 $x=\sqrt{3}$ 时，$f(x)$ 取得最小值： $f(\sqrt{3})=\frac{4}{3}\times 3+2\sqrt{3}-1=3+2\sqrt{3}$

所以 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{FP}$ 的取值范围为 $[3+2\sqrt{3},+\infty )$。

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线标准方程、$a,b,c$ 关系、向量数量积坐标运算、二次函数最值。
2. 核心方法：坐标法结合消元法转化为一元二次函数求最值。
3. 避坑指南：注意点 $P$ 在双曲线右支上，横坐标满足 $x\ge a=\sqrt{3}$，不能遗漏自变量的取值范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自解析几何与平面向量数量积最值问题的常规综合题。
2. 结论推广: 设双曲线右顶点为 $A$，若 $P$ 为右支上动点，向量数量积通常在右顶点 $A$ 处取得极值/最小值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积