2010-福建卷理-11 填-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的基本量计算，由前 $n$ 项和及公比求首项并得出通项公式。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(理)） 在等比数列 $\{a_n\}$ 中，若公比 $q=4$，且前 $3$ 项之和等于 $21$，则该数列的通项公式为 $a_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据等比数列前 $3$ 项和关系 $a_1+a_2+a_3=21$ 列出关于 $a_1$ 的方程。
2. 解方程求得首项 $a_1$，结合公比 $q=4$ 写出通项公式 $a_n$。

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$4^{n-1}$

✍【详细解析】

Abstract

由题意，前 $3$ 项和为： $S_3=a_1+a_2+a_3=a_1(1+q+q^2)=21$

代入 $q=4$ 得： $a_1(1+4+16)=21⟹21a_1=21⟹a_1=1$

所以，等比数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=4^{n-1}$

故答案为 $4^{n-1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列的基本量（首项 $a_1$、公比 $q$、通项 $a_n$）计算。
2. 核心方法：列方程求解首项 $a_1$。
3. 避坑指南：注意指数位置为 $n-1$，不要误写成 $4^n$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自必修五等比数列基本量计算课后练习题。
2. 结论推广: 已知公比 $q$ 与前 $k$ 项和 $S_k$，可直接通过 $a_1=\frac{S_k(1-q)}{1-q^k}$ ($q\ne 1$) 确定首项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件