2010-福建卷理-16 解-古典概型

本题导读

本题考查一元二次不等式的求解、列举法求基本事件以及离散型随机变量分布列与数学期望的计算。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(理)） 设 $S$ 是不等式 $x^2-x-6\le 0$ 的解集，整数 $m,n\in S$.

(1) 记使得“$m+n=0$ 成立的有序数组 $(m,n)$”为事件 $A$，试列举 $A$ 包含的基本事件；

(2) 设 $\xi =m^2$，求 $\xi$ 的分布列及其数学期望 $E\xi$.

🔍【思路分析】

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1. 解一元二次不等式 $x^2-x-6\le 0$ 确定解集 $S$，并写出 $S$ 内的所有整数。
2. 对于 (1)，根据 $m+n=0⟹n=-m$，在整数集 $S$ 内穷举符合条件的有序对 $(m,n)$。
3. 对于 (2)，确定随机变量 $\xi =m^2$ 的所有可能取值，计算各取值的概率，列出分布列并求数学期望。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解不等式 $x^2-x-6\le 0$，因式分解得 $(x-3)(x+2)\le 0$， 解得 $-2\le x\le 3$，即 $S=[-2,3]$。 因此，$S$ 内的整数集合为 $T=\{-2,-1,0,1,2,3\}$。

(1) 使得 $m+n=0$ 成立，即 $n=-m$。 因为 $m,n\in T$，当 $m$ 取 $T$ 中的整数时：

• 若 $m=-2$，则 $n=2\in T$；
• 若 $m=-1$，则 $n=1\in T$；
• 若 $m=0$，则 $n=0\in T$；
• 若 $m=1$，则 $n=-1\in T$；
• 若 $m=2$，则 $n=-2\in T$；
• 若 $m=3$，则 $n=-3\notin T$（舍去）。

所以，事件 $A$ 包含的基本事件为： $A=\{(-2,2),(-1,1),(0,0),(1,-1),(2,-2)\}$

(2) 因为 $m\in \{-2,-1,0,1,2,3\}$，且取每个整数的概率均为 $\frac{1}{6}$， 随机变量 $\xi =m^2$ 的可能取值为 $0,1,4,9$。

计算各取值的概率：

• $P(\xi =0)=P(m=0)=\frac{1}{6}$
• $P(\xi =1)=P(m=-1)+P(m=1)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$
• $P(\xi =4)=P(m=-2)+P(m=2)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$
• $P(\xi =9)=P(m=3)=\frac{1}{6}$

故 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	$0$	$1$	$4$	$9$
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

数学期望 $E\xi$ 为： $E\xi =0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{1}{3}+4\times \frac{1}{3}+9\times \frac{1}{6}=\frac{19}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元二次不等式、古典概型列举、离散型随机变量分布列与期望。
2. 核心方法：枚举法、分布列计算。
3. 避坑指南：

• 有序数组 $(m,n)$ 需考虑顺序，$(-2,2)$ 与 $(2,-2)$ 为不同基本事件；
• 当 $m=3$ 时 $n=-3$ 超出解集 $S$，需予以剔除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自必修三概率与选修2-3离散型随机变量分布列的经典综合练习题。
2. 结论推广: 若随机变量 $X$ 均匀取值于有限点集，其函数 $Y=g(X)$ 的分布列可通过合并相同因变量值对应自变量概率获得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-12 填-期望