2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立

本题导读

本题考查基本不等式，以及不等式恒成立。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） 若 $a$，$b\in \mathrm{R}$，且 $ab>0$，则下列不等式中，恒成立的是 ()

A. $a^2+b^2>2ab$　　　B. $a+b⩾2\sqrt{ab}$　　　C. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{2}{\sqrt{ab}}$　　　D. $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}⩾2$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$ab>0$ 即 $a,b$ 同号：B、C 对负数失效
2. 步骤2：A 差等号
3. 步骤3：D 同号比值直接套均值不等式

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$ab>0$ 说明 $a$，$b$ 同号。

A：$a^2+b^2⩾2ab$，当 $a=b$ 时取等号，”> “不恒成立；

B：$a$，$b$ 同负时 $a+b<0<2\sqrt{ab}$，不成立；

C：同负时左边为负、右边为正，不成立；

D：$\frac{b}{a}$ 与 $\frac{a}{b}$ 均为正且互为倒数，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}⩾2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot \frac{a}{b}}=2$，恒成立。选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式的适用条件（同号为正）

核心方法：$x+y⩾2\sqrt{xy}$ 要求 $x,y>0$；先由 $ab>0$ 判定各比值、倒数项的符号

避坑指南：$ab>0$ 不等于 $a,b>0$；含 $\sqrt{ab}$ 或 $\frac{1}{a}$ 的选项在 $a,b$ 同负时不成立；A 的等号情形 $a=b$ 使”严格大于”失效。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：基本不等式恒成立题与 2013-上海卷文-13、2011-北京卷文-07、2012-浙江卷文-09 同族。

结论推广：推广：$x+\frac{1}{x}⩾2$ 当且仅当 $x>0$；$x<0$ 时 $x+\frac{1}{x}⩽-2$。判断恒成立先定各项符号。

方法推广：恒成立选择：找反例最快——同负一组 $(a,b)=(-1,-2)$ 即可排除 B、C。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-13 填-基本不等式恒成立
• 2011-北京卷文-07 单-均值不等式费用
• 2012-浙江卷文-09 单-基本不等式最值