2010-福建卷理-17 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆标准方程的求解，以及直线与椭圆位置关系的探索性问题。核心在于利用“联立方程的判别式”判定公共点的存在性。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(理)） 已知中心在坐标原点 $O$ 的椭圆 $C$ 经过点 $A(2,3)$，且点 $F(2,0)$ 为其右焦点.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程；

(2) 是否存在平行于 $OA$ 的直线 $l$，使得直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有公共点，且直线 $OA$ 与 $l$ 的距离等于 $4$？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 对于 (1)：由右焦点 $F(2,0)$ 可知 $c=2$，椭圆焦点在 $x$ 轴上。设标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，结合 $a^2-b^2=c^2=4$ 及过点 $A(2,3)$ 列方程组求解 $a^2,b^2$。
2. 对于 (2)：求出直线 $OA$ 的斜率与方程。设直线 $l$ 的方程为 $3x-2y+m=0$ ($m\ne 0$)，利用平行线间距离公式 $d=4$ 求出 $m$ 的值，再联立直线与椭圆方程，判断判别式 $\Delta$ 是否大于等于 $0$。

✅【答案】

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（1）𝑥216+𝑦212=1；（2）不存在.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 因为椭圆 $C$ 的右焦点为 $F(2,0)$，所以焦点在 $x$ 轴上，且半焦距 $c=2$。 设椭圆 $C$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)。 由 $a^2-b^2=c^2=4$，得 $a^2=b^2+4$。

又椭圆 $C$ 经过点 $A(2,3)$，代入方程得： $\frac{4}{b^2+4}+\frac{9}{b^2}=1$

去分母化简得： $4b^2+9(b^2+4)=b^2(b^2+4)⟹b^4-9b^2-36=0$

因式分解得 $(b^2-12)(b^2+3)=0$。 因为 $b^2>0$，所以 $b^2=12$，从而 $a^2=12+4=16$。

故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$。

(2) 解： 假设存在满足条件的直线 $l$。 由 $O(0,0)$ 和 $A(2,3)$，得直线 $OA$ 的斜率为 $k_{OA}=\frac{3}{2}$，其方程为 $3x-2y=0$。

因为直线 $l\parallel OA$，设直线 $l$ 的方程为 $3x-2y+m=0$ ($m\ne 0$)。 由直线 $OA$ 与 $l$ 的距离等于 $4$，得： $d=\frac{|m|}{\sqrt{3^2+(-2{)}^2}}=\frac{|m|}{\sqrt{13}}=4⟹|m|=4\sqrt{13}⟹m^2=208$

将直线 $l$ 的方程 $y=\frac{3x+m}{2}$ 代入椭圆方程 $3x^2+4y^2=48$，得： $3x^2+4{\left(\frac{3x+m}{2}\right)}^2=48⟹12x^2+6mx+m^2-48=0$

该一元二次方程的判别式为： $\Delta =(6m{)}^2-4\times 12\times (m^2-48)=36m^2-48m^2+2304=-12m^2+2304$

要使直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有公共点，必须满足 $\Delta \ge 0$，即： $-12m^2+2304\ge 0⟹m^2\le 192$

而由距离公式求得 $m^2=208>192$，此时 $\Delta <0$，该一元二次方程无实数根，即直线 $l$ 与椭圆 $C$ 没有公共点。

因此，不存在满足条件的直线 $l$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待定系数法求椭圆方程、平行线间距离公式、直线与椭圆公共点判别式。
2. 核心方法：假设存在法——先由几何条件（距离）求出参数，再检验代数条件（判别式）是否成立。
3. 避坑指南：不可仅凭求出 $m=\pm 4\sqrt{13}$ 就断定直线存在，必须代回判别式检验直线与椭圆是否相交。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题为解析几何解答题中典型的“存在性/探索性问题”，考查数形结合思想。
2. 结论推广: 椭圆 $3x^2+4y^2=48$ 的平行切线间最大距离为 $2\sqrt{\frac{48}{12}+\dots }=2\sqrt{48\times (\frac{1}{16}\dots )}$。若两平行线间距离大于该椭圆沿该方向的最大平行宽度，则不可能与椭圆相交。

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