2010-福建卷理-18 解-几何概型

本题导读

本题考查面面垂直的几何证明、基于体积比的几何概型概率最值计算，以及利用空间向量法求解二面角余弦值。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(理)） 如图，圆柱 $O{O}_1$ 内有一个三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 $AB$ 是圆 $O$ 直径.

(1) 证明：平面 $A_{1}AC{C}_1\perp$ 平面 $B_{1}BC{C}_1$；

(2) 设 $AB=A{A}_1$，在圆柱 $O{O}_1$ 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 内的概率为 $p$. ① 当点 $C$ 在圆周上运动时，求 $p$ 的最大值； ② 记平面 $A_{1}AC{C}_1$ 与平面 $B_{1}OC$ 所成的角为 $\theta$ ($0^{\circ }<\theta \le 90^{\circ }$)，当 $p$ 取最大值时，求 $\cos \theta$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 对于 (1)：由直径所对圆周角得 $AC\perp BC$，由圆柱母线性质得 $C{C}_1\perp BC$，从而证明 $BC\perp$ 平面 $A_{1}AC{C}_1$，推导出面面垂直。
2. 对于 (2) ①：概率 $p=\frac{V_{\text{三棱柱}}}{V_{\text{圆柱}}}$，转化为求底面 $△ABC$ 面积的最大值（即点 $C$ 到直径 $AB$ 距离最大时）。
3. 对于 (2) ②：当 $p$ 取最大值时，$OC\perp AB$。以 $O$ 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 $A_{1}AC{C}_1$ 与平面 $B_{1}OC$ 的法向量，用向量夹角公式计算 $\cos \theta$。

✅【答案】

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$（1）pmax=1\pi .（2）cos𝜃=\surd 105.$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $AB$ 为圆 $O$ 的直径，所以 $\angle ACB=90^{\circ }$，即 $AC\perp BC$。 又三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 为直三棱柱，故侧棱 $C{C}_1\perp$ 底面 $ABC$。 因为 $BC\subset$ 底面 $ABC$，所以 $C{C}_1\perp BC$。 又 $AC\cap C{C}_1=C$，$AC,C{C}_1\subset$ 平面 $A_{1}AC{C}_1$， 所以 $BC\perp$ 平面 $A_{1}AC{C}_1$。 因为 $BC\subset$ 平面 $B_{1}BC{C}_1$， 所以平面 $A_{1}AC{C}_1\perp$ 平面 $B_{1}BC{C}_1$。

(2) 解： ① 设圆 $O$ 的半径为 $R$，则 $AB=2R$。 因为 $A{A}_1=AB$，所以圆柱及三棱柱的高 $h=2R$。

圆柱的体积为： $V_{\text{圆柱}}=\pi R^{2}h=2\pi R^3$

三棱柱的体积为： $V_{\text{三棱柱}}=S_{△ABC}\cdot h=2R\cdot S_{△ABC}$

由几何概型公式得概率 $p$ 为： $p=\frac{V_{\text{三棱柱}}}{V_{\text{圆柱}}}=\frac{2R\cdot S_{△ABC}}{2\pi R^3}=\frac{S_{△ABC}}{\pi R^2}$

要使 $p$ 最大，只需 $△ABC$ 的面积 $S_{△ABC}$ 最大。 以 $AB$ 为底，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot h_c=R\cdot h_c$（$h_c$ 为点 $C$ 到 $AB$ 的距离）。 当 $C$ 运动到半圆弧中点时，$h_c$ 取得最大值 $R$，此时 $(S_{△ABC}{)}_{\max }=R^2$。

所以 $p$ 的最大值为： $p_{\max }=\frac{R^2}{\pi R^2}=\frac{1}{\pi }$

② 当 $p$ 取最大值时，点 $C$ 为半圆弧的中点，故 $OC\perp AB$。 以 $O$ 为坐标原点，$OB$ 所在直线为 $x$ 轴，$OC$ 所在直线为 $y$ 轴，$O{O}_1$ 所在直线为 $z$ 轴建立空间直角坐标系 $O-xyz$。

设圆半径为 $R$，则各点坐标为： $O(0,0,0),A(-R,0,0),B(R,0,0),C(0,R,0),B_1(R,0,2R)$

由 (1) 证明知 $BC\perp$ 平面 $A_{1}AC{C}_1$， 向量 $\overrightarrow{CB}=(R,-R,0)$ 即为平面 $A_{1}AC{C}_1$ 的一个法向量。 取平面 $A_{1}AC{C}_1$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_1=(1,-1,0)$。

设平面 $B_{1}OC$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(x,y,z)$。 已知 $\overrightarrow{OC}=(0,R,0)$，$\overrightarrow{O{B}_1}=(R,0,2R)$。 由 $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{OC}=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{O{B}_1}=0\end{array}$ 得： $\{\begin{array}{l}Ry=0\\ Rx+2Rz=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}y=0\\ x=-2z\end{array}$

取 $z=1$，得 ${\mathbf{n}}_2=(-2,0,1)$。

根据向量夹角公式，平面 $A_{1}AC{C}_1$ 与平面 $B_{1}OC$ 所成角 $\theta$ 的余弦值为： $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|1\times (-2)+(-1)\times 0+0\times 1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+0^2}\cdot \sqrt{(-2{)}^2+0^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直与面面垂直判定、几何概型体积比、空间直角坐标系与向量求二面角。
2. 核心方法：

• 证明面面垂直先找线面垂直；
• 利用已知线面垂直关系直接获取法向量，简化计算。

3. 避坑指南：第 (2) ② 问求法向量时，切记利用第 (1) 问结论（$BC\perp$ 平面 $A_{1}AC{C}_1$），可直接将 $\overrightarrow{CB}$ 作为法向量，避免重复建联联立方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题来源于柱体内接多面体的空间位置关系与几何概型综合考查题。
2. 结论推广: 圆柱内接直三棱柱且底面一边为直径时，两侧面必垂直；当底面三角形为等腰直角三角形时，三棱柱体积达到最大。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角
• 2011-重庆卷文-20 解-四面体体积与二面角
• 2012-新课标卷文-19 解-面面垂直与截面体积