2010-辽宁卷文-17 解-正弦定理与三角形形状

本题导读

考查解三角形。(1) ${\sin }^{2}A={\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C+\sin B\sin C$，化为 $\cos A=-\frac{1}{2}$，$A=\frac{2\pi }{3}$；(2) $B=C=\frac{\pi }{6}$，等腰三角形。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$a,b,c$ 分别为内角 $A,B,C$ 的对边，且 $2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$.

(1) 求 $A$ 的大小；

(2) 若 $\sin B+\sin C=1$，试判断 $△ABC$ 的形状.

🔍【思路分析】

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1. 正弦定理化边为角：$2{\sin }^{2}A=2{\sin }^{2}B+2{\sin }^{2}C+\sin B\sin C+\sin C\sin B$ 整理得 ${\sin }^{2}A={\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C+\sin B\sin C$。
2. 又 ${\sin }^{2}A={\sin }^2(B+C)={\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C-2\sin B\sin C\cos A$。
3. 比较得 $\cos A=-\frac{1}{2}$，$A=\frac{2\pi }{3}$。
4. $\sin B+\sin C=2\sin \frac{B+C}{2}\cos \frac{B-C}{2}=\cos \frac{B-C}{2}=1$，故 $B=C=\frac{\pi }{6}$。

✅【答案】

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(1) $A=\frac{2\pi }{3}$

(2) 等腰三角形（$B=C=\frac{\pi }{6}$）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由正弦定理 $a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$，$c=2R\sin C$，代入已知等式： $4R^2\cdot 2{\sin }^{2}A=4R^2\left(2{\sin }^{2}B+\sin B\sin C+2{\sin }^{2}C+\sin C\sin B\right)\cdot \frac{1}{2}\times 2,$ 整理得 ${\sin }^{2}A={\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C+\sin B\sin C.\text{(1)}$ 另一方面，由 $A=\pi -(B+C)$： ${\sin }^{2}A={\sin }^2(B+C)={\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C-2\sin B\sin C\cos A.\text{(2)}$ 比较①②： $-2\sin B\sin C\cos A=\sin B\sin C.$ 因为 $B,C\in (0,\pi )$，$\sin B\sin C>0$，故 $\cos A=-\frac{1}{2},A=\frac{2\pi }{3}.$ (2) 由 (1) 知 $B+C=\frac{\pi }{3}$。和差化积： $\sin B+\sin C=2\sin \frac{B+C}{2}\cos \frac{B-C}{2}=2\sin \frac{\pi }{6}\cos \frac{B-C}{2}=\cos \frac{B-C}{2}=1.$ 又 $\left|\frac{B-C}{2}\right|<\frac{\pi }{2}$，故 $\frac{B-C}{2}=0$，即 $B=C=\frac{\pi }{6}$。 所以 $b=c$，$△ABC$ 是等腰三角形（顶角 $A=\frac{2\pi }{3}$ 的钝角等腰三角形）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与三角形形状判断

核心方法：边化角后配凑 ${\sin }^2(B+C)$ 的展开式比较系数

避坑指南：${\sin }^2(B+C)={\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C-2\sin B\sin C\cos A$ 这步配凑是本题题眼；$\sin B\sin C>0$ 才能两边约去；(2) 中 $\cos \frac{B-C}{2}=1$ 要结合范围得 $B=C$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理 $a=2R\sin A$ 让边与正弦自由互换。

结论推广：判断三角形形状：角的关系（等角）与边的关系（等边）互相翻译。

方法推广：和差化积 $\sin B+\sin C=2\sin \frac{B+C}{2}\cos \frac{B-C}{2}$。

🔗【关联脉络】

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• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2009-大纲卷I文-18 解-解三角形求边
• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形