2008-辽宁卷文-17 解-正余弦定理解三角形

本题导读

(1)$ab=4$，$a^2+b^2=8$，得 $a=b=2$；(2)$b=2a$，$3a^2=4$，$a=\frac{2\sqrt{3}}{3}$、$b=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，面积 $=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 对边的边长分别是 $a$，$b$，$c$，已知 $c=2$，$C=\frac{\pi }{3}$．

(1)若 $△ABC$ 的面积等于 $\sqrt{3}$，求 $a$，$b$；

(2)若 $\sin B=2\sin A$，求 $△ABC$ 的面积．

🔍【思路分析】

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(1)面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 给 $ab$，余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 给 $a^2+b^2$，两式联立. (2)$\sin B=2\sin A$ 用正弦定理化为 $b=2a$，代入余弦定理解 $a$，再回代面积公式.

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(1)$a=b=2$；　(2)$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由三角形面积公式，$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ab\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}ab=\sqrt{3}$，所以 $ab=4$．由余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$，即 $4=a^2+b^2-2ab\cdot \frac{1}{2}=a^2+b^2-ab=a^2+b^2-4$，故 $a^2+b^2=8$．于是 $(a-b{)}^2=a^2+b^2-2ab=8-8=0$，得 $a=b$，结合 $ab=4$ 且边长为正，$a=b=2$． (2)由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，得 $\frac{\sin B}{\sin A}=\frac{b}{a}$．已知 $\sin B=2\sin A$，所以 $\frac{b}{a}=2$，即 $b=2a$．代入余弦定理：$4=a^2+(2a{)}^2-2a\cdot 2a\cdot \frac{1}{2}=a^2+4a^2-2a^2=3a^2$，解得 $a=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$b=2a=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．所以三角形面积为 $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理、余弦定理与三角形面积

核心方法：面积公式给 $ab$，余弦定理给 $a^2+b^2$，联立求解；$\sin B=2\sin A$ 用正弦定理化为 $b=2a$

避坑指南：$\sin B=2\sin A\Rightarrow b=2a$ 是正弦定理的直接推论，别误用余弦；(2)解出 $a=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 后回代面积，别把 $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 漏乘

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材正弦定理、余弦定理与面积公式

结论推广：$S=\frac{1}{2}ab\sin C$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$

方法推广：解三角形优先画图标已知量；边角互化（$\sin B=2\sin A\iff b=2a$）是正弦定理的核心用法

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2011-辽宁卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2010-辽宁卷文-17 解-正弦定理与三角形形状