2010-辽宁卷文-20 解-椭圆焦点弦

本题导读

考查椭圆综合。(1) $\sqrt{3}c=2\sqrt{3}$，焦距 $2c=4$；(2) $a^2=9,b^2=5$，方程 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)） 设 $F_1,F_2$ 分别为椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的左、右焦点，过 $F_2$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，直线 $l$ 的倾斜角为 $60^{\circ }$，$F_1$ 到直线 $l$ 的距离为 $2\sqrt{3}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的焦距；

(2) 如果 $\overrightarrow{A{F}_2}=2\overrightarrow{F_{2}B}$，求椭圆 $C$ 的方程.

🔍【思路分析】

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1. $l:y=\sqrt{3}(x-c)$，$F_1(-c,0)$ 到 $l$ 的距离 $\sqrt{3}c=2\sqrt{3}$，$c=2$。
2. 设方向向量 $\mathbf{e}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$\overrightarrow{F_{2}B}=t\mathbf{e}$，则 $\overrightarrow{F_{2}A}=-2t\mathbf{e}$。
3. 直线参数代入椭圆得关于 $s$ 的二次方程，两根为 $-2t$ 与 $t$。
4. 韦达定理配合 $b^2=a^2-4$，解得 $a^2=9$，$b^2=5$。

✅【答案】

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(1) 焦距 $4$

(2) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设半焦距为 $c$，$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$。 直线 $l$ 过 $F_2$ 且倾斜角为 $60^{\circ }$，方程为 $y=\sqrt{3}(x-c),\text{即 }\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}c=0.$ $F_1$ 到 $l$ 的距离 $\frac{|-\sqrt{3}c-\sqrt{3}c|}{\sqrt{3+1}}=\sqrt{3}c=2\sqrt{3}\Rightarrow c=2,$ 故椭圆 $C$ 的焦距 $|F_1{F}_2|=2c=4$。 (2) 取 $l$ 的单位方向向量 $\mathbf{e}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。 由 $\overrightarrow{A{F}_2}=2\overrightarrow{F_{2}B}$，设 $\overrightarrow{F_{2}B}=t\mathbf{e}$ ($t>0$)，则 $\overrightarrow{F_{2}A}=-2t\mathbf{e}$。 将直线上的点 $X(s)=F_2+s\mathbf{e}=\left(2+\frac{s}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}s\right)$ 代入椭圆方程： $\left(\frac{1}{4a^2}+\frac{3}{4b^2}\right)s^2+\frac{2}{a^2}s+\frac{4}{a^2}-1=0,$ 其两根恰为 $s_1=-2t$（对应 $A$）与 $s_2=t$（对应 $B$）。 由韦达定理（记 $D=b^2+3a^2$，方程两边乘 $4a^2{b}^2$ 后）： $s_1+s_2=-t=-\frac{8b^2}{D}\Rightarrow t=\frac{8b^2}{D},$ $s_1{s}_2=-2t^2=\frac{4b^2(4-a^2)}{D}.$ 代入 $t$： $-2\cdot \frac{64b^4}{D^2}=\frac{4b^2(4-a^2)}{D}\Rightarrow D=32(\text{利用 }{a}^2-b^2=4).$ 即 $b^2+3a^2=32$，联立 $b^2=a^2-4$，解得 $a^2=9,b^2=5.$ 椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的焦点弦与韦达定理

核心方法：参数式设弦上点，向量倍关系化为两根之比

避坑指南：$\overrightarrow{A{F}_2}=2\overrightarrow{F_{2}B}$ 说明 $A,B$ 在 $F_2$ 两侧且 $|A{F}_2|=2|F_{2}B|$，对应参数根 $-2t$ 与 $t$；$F_1$ 到直线距离公式中分子是 $|-\sqrt{3}c-\sqrt{3}c|=2\sqrt{3}c$，别漏一倍。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：过焦点的直线用参数方程处理，弦长与分点问题特别顺手。

结论推广：韦达定理处理”一根是另一根几倍”的问题：和与积联立消 $t$。

方法推广：椭圆中 $a^2-b^2=c^2$ 与双曲线方向相反，时刻警惕。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-22 解-椭圆方程与斜率定值
• 2009-湖南卷文-20 解-椭圆中点弦
• 2011-四川卷文-21 解-椭圆弦长与定值
• 2009-福建卷文-22 解-椭圆最值与存在性