2011-四川卷文-21 解-椭圆弦长与定值

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆相交的弦长。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(文)） 过点 $C(0,1)$ 的椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆与 $x$ 轴交于两点 $A(a,0)$，$B(-a,0)$，过点 $C$ 的直线 $l$ 与椭圆交于另一点 $D$，并与 $x$ 轴交于点 $P$，直线 $AC$ 与直线 $BD$ 交于点 $Q$.

(1)当直线 $l$ 过椭圆右焦点时，求线段 $CD$ 的长；

(2)当点 $P$ 异于点 $B$ 时，求证：$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}$ 为定值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由过点 $C(0,1)$ 定 $b=1$
2. 步骤2：离心率定 $a=2$
3. 步骤3：（1）联立求 $D$ 的坐标算弦长
4. 步骤4：（2）设直线 $l$ 的参数联立

✅【答案】

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(1) $|CD|=\frac{16}{7}$

(2) $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=4$ 为定值

✍【详细解析】

Abstract

由 $C(0,1)$ 在椭圆上得 $b=1$；由 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$ 得 $a^2=4$。 故椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$，$A(2,0)$，$B(-2,0)$，右焦点 $(\sqrt{3},0)$。 （1）直线 $l$ 过 $(0,1)$ 与 $(\sqrt{3},0)$：$y=1-\frac{x}{\sqrt{3}}$。 代入椭圆：$\frac{x^2}{4}+{\left(1-\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}^2=1$， $\frac{x^2}{4}+1-\frac{2x}{\sqrt{3}}+\frac{x^2}{3}=1$，得 $x\left(\frac{7}{12}x-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=0$。 $x=0$ 对应点 $C$，另一交点 $D$ 的横坐标 $x_D=\frac{24}{7\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{7}$，$y_D=1-\frac{8\sqrt{3}}{7\sqrt{3}}=1-\frac{8}{7}=-\frac{1}{7}$。 $|CD|=\sqrt{{\left(\frac{8\sqrt{3}}{7}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{7}-1\right)}^2}=\sqrt{\frac{192}{49}+\frac{64}{49}}=\sqrt{\frac{256}{49}}=\frac{16}{7}$。 （2）设 $P(t,0)$（$t\ne -2$，且 $l$ 有斜率）。直线 $l$：$y=k(x-t)$，过 $C(0,1)$ 得 $1=-kt$，$k=-\frac{1}{t}$， 即 $l$：$y=1-\frac{x}{t}$。代入椭圆：$\frac{x^2}{4}+{\left(1-\frac{x}{t}\right)}^2=1$， $x\left[\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{t^2}\right)x-\frac{2}{t}\right]=0$，故 $x_D=\frac{\frac{2}{t}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{t^2}}=\frac{8t}{t^2+4}$，$y_D=1-\frac{8}{t^2+4}=\frac{t^2-4}{t^2+4}$。 直线 $AC$：$\frac{x}{2}+y=1$，即 $y=1-\frac{x}{2}$。 直线 $BD$：过 $B(-2,0)$ 与 $D\left(\frac{8t}{t^2+4},\frac{t^2-4}{t^2+4}\right)$。 联立 $AC$ 与 $BD$ 解出 $Q$：直线 $BD$ 的斜率 $k_{BD}=\frac{y_D-0}{x_D+2}=\frac{\frac{t^2-4}{t^2+4}}{\frac{8t}{t^2+4}+2}=\frac{t^2-4}{8t+2t^2+8}=\frac{(t-2)(t+2)}{2(t^2+4t+4)}=\frac{(t-2)(t+2)}{2(t+2{)}^2}=\frac{t-2}{2(t+2)}$（$t\ne -2$）。 直线 $BD$：$y=\frac{t-2}{2(t+2)}(x+2)$。 与 $y=1-\frac{x}{2}$ 联立：$1-\frac{x}{2}=\frac{t-2}{2(t+2)}(x+2)$。 两边乘 $2(t+2)$：$2(t+2)-(t+2)x=(t-2)(x+2)$。 展开：$2t+4-tx-2x=tx+2t-2x-4$，移项得 $8-2tx=0$， 故 $x_Q=\frac{4}{t}$，$y_Q=1-\frac{2}{t}$。 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=t\cdot \frac{4}{t}+0\cdot \left(1-\frac{2}{t}\right)=4$。 故 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}$ 为定值 $4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆基本量的双条件定方程；弦长计算；直线系联立与韦达结构；定值证明的表达式化简。

核心方法：定方程 → 特殊直线算弦长 → 一般直线设 $P(t,0)$ 统一参数 → 恒等化简出定值。

避坑指南：$t=-2$（$P$ 与 $B$ 重合）时 $BD\parallel AC$ 无交点，题设「$P$ 异于 $B$」正是保证联立可解；斜率化简中 $t+2$ 的约分必须声明 $t\ne -2$；定值与 $t$ 无关这一步要用到 $x_Q=\frac{4}{t}$ 的分子恰好消去 $t$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：「过定点弦 + 两条直线交点 + 数量积定值」是椭圆综合题的经典框架，2012 陕西文 20、2011 重庆文 21 与本题同为轨迹或定值收尾。

结论推广：定值 $4=a^2$ 与椭圆长半轴平方相等并非巧合：该构型中 $Q$ 的轨迹可求出为直线，$OP\cdot OQ$ 的不变量源于 $C$ 取短轴端点，若 $C$ 改为椭圆上一般点，定值一般不复存在。

方法推广：定值证明的标准套路：用单一参数（如 $P(t,0)$）把所有点串起来，联立时保留「因式分解形态」（如 $x\left[\cdots \right]=0$）直接读出第二交点，避免死算判别式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-陕西卷文-20 解-椭圆标准方程与向量关系
• 2011-重庆卷文-21 解-椭圆轨迹与定点定值
• 2012-重庆卷文-21 解-椭圆标准方程与面积