2010-辽宁卷理-07 单-抛物线

本题导读

本题考查抛物线几何性质及第一定义的应用。核心在于通过已知直线的斜率确定准线上垂足的坐标，进而求出抛物线上点 $P$ 的坐标并求焦半径。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理7）设抛物线 $y^2=8x$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$，$P$ 为抛物线上一点，$PA\perp l$，$A$ 为垂足，如果直线 $AF$ 的斜率为 $-\sqrt{3}$，那么 $|PF|=$()

A. $4\sqrt{3}$　　　　　　　B. $8$　　　　　　　C. $8\sqrt{3}$　　　　　　　D. $16$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据抛物线方程 $y^2=8x$ 写出焦点 $F(2,0)$ 和准线 $l:x=-2$。
2. 设 $A(-2,y_A)$，由直线 $AF$ 的斜率为 $-\sqrt{3}$ 列方程求出 $y_A$。
3. 由 $PA\perp l$ 得到点 $P$ 的纵坐标 $y_P=y_A$，代入抛物线方程求出 $x_P$。
4. 利用抛物线定义 $|PF|=x_P+\frac{p}{2}$ 计算焦半径。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 由抛物线方程 $y^2=8x$ 得 $2p=8⟹p=4$。 焦点为 $F(2,0)$，准线方程为 $l:x=-2$。

因为 $A$ 在准线 $l$ 上，设 $A(-2,y_A)$。 已知直线 $AF$ 的斜率为 $-\sqrt{3}$： $k_{AF}=\frac{y_A-0}{-2-2}=\frac{y_A}{-4}=-\sqrt{3}⟹y_A=4\sqrt{3}$

因为 $PA\perp l$，垂足为 $A$，且 $l$ 为竖直直线 $x=-2$， 所以 $PA$ 为水平线段，点 $P$ 的纵坐标与 $A$ 相同，即 $y_P=y_A=4\sqrt{3}$。

将 $y_P=4\sqrt{3}$ 代入抛物线方程 $y^2=8x$ 得： $(4\sqrt{3}{)}^2=8x_P⟹48=8x_P⟹x_P=6$

根据抛物线的定义，点 $P$ 到焦点 $F$ 的距离等于它到准线 $l$ 的距离： $|PF|=d(P,l)=x_P-(-2)=6+2=8$

故选 B>

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线标准方程与定义、焦半径公式 $|PF|=x+\frac{p}{2}$。
2. 核心方法：坐标法结合抛物线定义转化求焦半径。
3. 避坑指南：计算焦半径时直接利用定义 $d(P,l)=x_P+\frac{p}{2}$ 计算更为高效，无需使用两点间距离公式计算 $|PF|$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自圆锥曲线几何性质基础题，考查抛物线“一焦点、一准线、一点”构成的经典直角梯形/三角形性质。
2. 结论推广：在抛物线 $y^2=2px$ 中，若 $PA\perp$ 准线 $l$，垂足为 $A$，过 $F$ 作 $AF$，则 $\Delta PAF$ 为等腰三角形（$|PA|=|PF|$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-11 单-抛物线切线与圆
• 2011-大纲卷理-10 单-抛物线
• 2011-大纲卷理-21 解-抛物线焦点