2010-辽宁卷理-14 填-排列组合

本题导读

本题考查已知代数式的取值范围求目标表达式范围的问题，核心在于利用待定系数法将目标表达式用已知表达式线性表示，避免扩大取值范围。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理14）已知 $-1<x+y<4$ 且 $2<x-y<3$，则 $z=2x-3y$ 的取值范围是$\underline{}$.（答案用区间表示）

🔍【思路分析】

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1. 设 $2x-3y=m(x+y)+n(x-y)$。
2. 建立关于 $m,n$ 的方程组，求出 $m,n$ 的值。
3. 根据不等式的同向可加性与数乘性质求解 $z$ 的范围。

✅【答案】

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(3, 8)

✍【详细解析】

Abstract

解： 设 $z=2x-3y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y$。

对照系数建立方程组： $\{\begin{array}{l}m+n=2\\ m-n=-3\end{array}$

两式相加与相减解得： $m=-\frac{1}{2},n=\frac{5}{2}$

所以： $z=2x-3y=-\frac{1}{2}(x+y)+\frac{5}{2}(x-y)$

已知 $-1<x+y<4$，不等式两边同乘以 $-\frac{1}{2}$ 得： $-2<-\frac{1}{2}(x+y)<\frac{1}{2}$

已知 $2<x-y<3$，不等式两边同乘以 $\frac{5}{2}$ 得： $5<\frac{5}{2}(x-y)<\frac{15}{2}$

两式相加得： $-2+5<-\frac{1}{2}(x+y)+\frac{5}{2}(x-y)<\frac{1}{2}+\frac{15}{2}$ 即： $3<2x-3y<8$

用区间表示为 $(3,8)$。

故答案为：(3, 8)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用已知范围式子的线性组合求目标表达式的范围。
2. 核心方法：待定系数法。
3. 避坑指南：切忌分别解出 $x,y$ 的范围再代入计算 $2x-3y$，这样做会扩大解的实际取值范围（因为 $x$ 与 $y$ 之间存在约束条件，不相互独立）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自高中数学不等式性质的基本应用，考查不等式同向可加性的等价转化。
2. 结论推广：若已知 $A_1<ax+by<B_1$ 与 $A_2<cx+dy<B_2$，则求 $px+qy$ 必须用待定系数法解出 $px+qy=m(ax+by)+n(cx+dy)$，再实施同向缩放。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2012-浙江卷文-21 解-三次函数单调性与不等式证明