2010-辽宁卷理-16 填-数列

本题导读

本题考查利用递推关系求数列通项公式，并利用基本不等式/函数单调性求解数列相应项比值的最小值。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理16）已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=33$，$a_{n+1}-a_n=2n$，则 $\frac{a_n}{n}$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用累加法求出数列 $\{a_n\}$ 的通项公式。
2. 构造新数列 $b_n=\frac{a_n}{n}$，将其化简为关于 $n$ 的分式（对勾函数形态）。
3. 利用基本不等式找到极值点邻近的正整数 $n$，比较求出最小值。

✅【答案】

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$\frac{21}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 由 $a_{n+1}-a_n=2n$，利用累加法（$n\ge 2$）： $a_n-a_1={\sum }_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)={\sum }_{k=1}^{n-1}2k=2\times \frac{(n-1)n}{2}=n(n-1)$

已知 $a_1=33$，代入可得通项公式为： $a_n=n^2-n+33(n=1\text{ 时也满足})$

设 $b_n=\frac{a_n}{n}$，则： $b_n=\frac{n^2-n+33}{n}=n+\frac{33}{n}-1(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$

由基本不等式，当 $n\in {\mathbb{R}}^{+}$ 时： $n+\frac{33}{n}\ge 2\sqrt{33}$ 等号在 $n=\sqrt{33}\approx 5.74$ 时取得。

因为 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，最小值在 $n=5$ 或 $n=6$ 处取得：

• 当 $n=5$ 时，$b_5=5+\frac{33}{5}-1=4+6.6=10.6=\frac{53}{5}$；
• 当 $n=6$ 时，$b_6=6+\frac{33}{6}-1=5+5.5=10.5=\frac{21}{2}$。

比较可知 $b_6<b_5$，故 $\frac{a_n}{n}$ 的最小值为 $\frac{21}{2}$（或 $10.5$）。

故答案为：$\frac{21}{2}$（或 $10.5$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：累加法求通项公式、对勾函数在正整数集上的极值点寻找。
2. 核心方法：

• 累加法：形如 $a_{n+1}-a_n=f(n)$；
• 临近整数检验：对勾函数极值点不为整数时，需分别代入与 $\sqrt{k}$ 最接近的两个相邻整数比较大小。

3. 避坑指南：不可直接将 $\sqrt{33}$ 算得的非整数结果代入，必须代入离 $\sqrt{33}\approx 5.74$ 最近的两个正整数 $5$ 和 $6$ 验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自数列通项求解与基本不等式综合，考查离散变量极值点的判定。
2. 结论推广：对 $f(n)=n+\frac{A}{n}$，使 $f(n)$ 在 ${\mathbb{N}}^{\ast }$ 上最小的 $n$ 满足 $n(n-1)\le A\le n(n+1)$。由于 $5\times 6=30\le 33\le 6\times 7=42$，故最小值为 $n=6$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数