2010-辽宁卷理-19 解-线面位置

本题导读

本题考查利用空间向量解决立体几何问题。根据三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明线线垂直，并通过求平面的法向量计算直线与平面所成的角。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理19）已知三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA\perp$ 平面 $ABC$，$AB\perp AC$，$PA=AC=\frac{1}{2}AB$.$N$ 为 $AB$ 上一点，$AB=4AN$，$M,S$ 分别为 $PB,BC$ 的中点.

(1)证明：$CM\perp SN$；

(2)求 $SN$ 与平面 $CMN$ 所成角的大小.

🔍【思路分析】

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1. 因为 $PA\perp$ 平面 $ABC$，且 $AB\perp AC$，故 $AP,AB,AC$ 两两互相垂直。以 $A$ 为坐标原点，$AC,AB,AP$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
2. 第（1）问：写出相关点坐标，计算向量 $\overrightarrow{CM}$ 与 $\overrightarrow{SN}$，证明其数量积 $\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{SN}=0$。
3. 第（2）问：求出平面 $CMN$ 的法向量 $\vec{n}$，计算法向量与线段方向向量 $\overrightarrow{SN}$ 夹角的余弦值，进而得出线面角的正弦值及角度。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解： 以 $A$ 为原点，$AC,AB,AP$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建立空间直角坐标系 $A-xyz$。

不妨设 $PA=2$，则 $AC=2$，$AB=4$。 各点坐标分别为： $A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,4,0),P(0,0,2)$

因为 $N$ 在 $AB$ 上，且 $AB=4AN⟹AN=1$，故 $N(0,1,0)$。 因为 $M$ 为 $PB$ 的中点，故 $M\left(0,2,1\right)$。 因为 $S$ 为 $BC$ 的中点，故 $S\left(1,2,0\right)$。

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（1）证明：$CM\perp SN$ 由点坐标可得： $\overrightarrow{CM}=(0-2,2-0,1-0)=(-2,2,1)$ $\overrightarrow{SN}=(0-1,1-2,0-0)=(-1,-1,0)$

计算数量积： $\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{SN}=(-2)\times (-1)+2\times (-1)+1\times 0=2-2+0=0$

因为 $\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{SN}=0$，所以 $CM\perp SN$。

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（2）求 $SN$ 与平面 $CMN$ 所成角的大小： 由点坐标可得： $\overrightarrow{CN}=(0-2,1-0,0-0)=(-2,1,0)$ $\overrightarrow{CM}=(-2,2,1)$

设平面 $CMN$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{CN}=-2x+y=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{CM}=-2x+2y+z=0\end{array}$

取 $x=1$，则 $y=2$，$z=-2x=-2$。 故平面 $CMN$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(1,2,-2)$。

设 $SN$ 与平面 $CMN$ 所成角为 $\theta \left(\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]\right)$，则： $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{SN}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{SN}||\vec{n}|}$

其中 $|\overrightarrow{SN}|=\sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2+0^2}=\sqrt{2}$， $|\vec{n}|=\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}=3$， $|\overrightarrow{SN}\cdot \vec{n}|=|(-1)\times 1+(-1)\times 2+0\times (-2)|=|-3|=3$

代入计算得： $\sin \theta =\frac{3}{\sqrt{2}\times 3}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

因为 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，所以 $\theta =\frac{\pi }{4}$（或 $45^{\circ }$）。

故 $SN$ 与平面 $CMN$ 所成角的大小为 $\frac{\pi }{4}$（或 $45^{\circ }$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：建立空间直角坐标系、空间向量数量积与垂直判定、向量法求直线与平面所成角。
2. 核心方法：

• 线线垂直：证明向量数量积为零；
• 线面角计算：利用 $\sin \theta =\frac{|\vec{d}\cdot \vec{n}|}{|\vec{d}||\vec{n}|}$ 直接求解。

3. 避坑指南：计算法向量时注意方程化简的准确性，防止把线面角的正弦值与向量夹角的余弦值混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2010 年辽宁高考理科第 19 题，考查含有两两垂直直线的直角三棱锥典型构型。
2. 结论推广：在直角三棱锥 $P-ABC$ 中（$AP,AB,AC$ 两两垂直），任意点的坐标均可按比例精确代数化，是向量建系法的经典适用模型。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷理-08 单-线面角的向量求法
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积