2010-重庆卷文-15 填-和角公式圆弧圆心角

本题导读

考查和角公式与几何。设三圆心 $O_1,O_2,O_3$ 与 $P$ 连线夹角 ${\beta }_1+{\beta }_2+{\beta }_3=2\pi$；等半径两圆过 $P$ 相交构成菱形，推得 ${\alpha }_i={\beta }_j+{\beta }_k$，故 ${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3=2({\beta }_1+{\beta }_2+{\beta }_3)=4\pi$。原式 $=\cos \left(\frac{{\alpha }_1}{3}+\frac{{\alpha }_2+{\alpha }_3}{3}\right)=\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(文)） 如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 $C$，各段弧所在的圆经过同一点 $P$（点 $P$ 不在 $C$ 上）且半径相等. 设第 $i$ 段弧所对的圆心角 ${\alpha }_i$（$i=1,2,3$），则 $\cos \frac{{\alpha }_1}{3}\cos \frac{{\alpha }_2+{\alpha }_3}{3}-\sin \frac{{\alpha }_1}{3}\sin \frac{{\alpha }_2+{\alpha }_3}{3}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 识别结构：原式是 $\cos X\cos Y-\sin X\sin Y=\cos (X+Y)$，其中 $X=\frac{{\alpha }_1}{3}$，$Y=\frac{{\alpha }_2+{\alpha }_3}{3}$。
2. 几何部分：证明 ${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3=4\pi$，故 $X+Y=\frac{4\pi }{3}$。
3. $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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$-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

原式符合余弦的和角公式 $\cos X\cos Y-\sin X\sin Y=\cos (X+Y),$ 其中 $X=\frac{{\alpha }_1}{3}$，$Y=\frac{{\alpha }_2+{\alpha }_3}{3}$，故原式 $=\cos \frac{{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3}{3}$. 下面求 ${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$：设三圆的圆心分别为 $O_1$，$O_2$，$O_3$，记 ${\beta }_1=\angle O_{2}P{O}_3,{\beta }_2=\angle O_{3}P{O}_1,{\beta }_3=\angle O_{1}P{O}_2,$ 则 ${\beta }_1+{\beta }_2+{\beta }_3=2\pi$. 设第 $i$ 个圆与另外两个圆的另一个交点分别为 $Q_{ij}$ 和 $Q_{ik}$（$\{i,j,k\}=\{1,2,3\}$）. 由于两圆半径相等且都经过 $P$，四边形 $P{O}_i{Q}_{ij}{O}_j$ 是菱形. 因此在以 $O_i$ 为圆心的圆上，从 $Q_{ij}$ 到 $P$ 的圆心角为 $\pi -{\beta }_k$，从 $P$ 到 $Q_{ik}$ 的圆心角为 $\pi -{\beta }_j$. 经过 $P$ 的那段弧（虚线部分）所对的圆心角为 $(\pi -{\beta }_k)+(\pi -{\beta }_j)=2\pi -({\beta }_j+{\beta }_k).$ ${\alpha }_i$ 是其余实线圆弧所对的圆心角，所以 ${\alpha }_i=2\pi -\left[2\pi -({\beta }_j+{\beta }_k)\right]={\beta }_j+{\beta }_k.$ 从而 ${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3=2({\beta }_1+{\beta }_2+{\beta }_3)=4\pi .$ 于是 $\cos \frac{{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3}{3}=\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}.$ 故填 $-\frac{1}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：和角公式与圆弧圆心角

核心方法：原式 $=\cos \frac{{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3}{3}$；等半径菱形性质给出 ${\alpha }_i={\beta }_j+{\beta }_k$，总和 $4\pi$，$\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$

避坑指南：先认出 $\cos X\cos Y-\sin X\sin Y$ 结构再算角度和；几何证明的关键是菱形 $P{O}_i{Q}_{ij}{O}_j$；${\beta }_1+{\beta }_2+{\beta }_3=2\pi$ 是周角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“结构识别 + 角度和”型填空：先用公式化简，再攻几何量。

结论推广：$\cos (X+Y)=\cos X\cos Y-\sin X\sin Y$；等圆共点相交构成菱形（对角线互相平分）。

方法推广：三角求值题先凑公式结构；几何条件转化为角度关系时，抓住”等半径 $\Rightarrow$ 等腰/菱形”这一桥梁。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-04 单-正切和角公式
• 2011-北京卷文-15 解-三角恒等变换最值
• 2012-江苏卷-11 填-三角恒等变换求值
• 2012-重庆卷文-05 单-三角恒等变换求值