2012-江苏卷-11 填-三角恒等变换求值

本题导读

本题考查同角三角函数关系，以及两角和与差的正弦公式。

📌【题干】

Question

（2012年江苏卷） 设 $\alpha$ 为锐角，若 $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=\frac{4}{5}$，则 $\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{12}\right)$ 的值为　　.

🔍【思路分析】

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$\cos \beta =\frac{4}{5}$，$\sin \beta =\frac{3}{5}$，$\sin 2\beta =\frac{24}{25}$，$\cos 2\beta =\frac{7}{25}$，$\sin \left(2\beta -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{17\sqrt{2}}{50}$。

✅【答案】

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$\frac{17\sqrt{2}}{50}$

✍【详细解析】

Abstract

令 $\beta =\alpha +\frac{\pi }{6}$。由于 $\alpha$ 为锐角，且 $\cos \beta =\frac{4}{5}>0$，所以 $\beta$ 为锐角，从而 $\sin \beta =\frac{3}{5}$。

由 $\alpha =\beta -\frac{\pi }{6}$，有 $2\alpha +\frac{\pi }{12}=2\beta -\frac{\pi }{4}$。

又 $\sin 2\beta =2\sin \beta \cos \beta =\frac{24}{25}$，$\cos 2\beta ={\cos }^2\beta -{\sin }^2\beta =\frac{7}{25}$，因此

$\sin \left(2\beta -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sin 2\beta -\cos 2\beta }{\sqrt{2}}=\frac{17}{25\sqrt{2}}=\frac{17\sqrt{2}}{50}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：换元整体处理角；二倍角公式；两角差正弦公式

核心方法：把目标角写成已知角 $\beta$ 的组合 $2\beta -\frac{\pi }{4}$，分母有理化收尾

避坑指南：$2\beta -\frac{\pi }{4}$ 的展开是 $\sin 2\beta \cos \frac{\pi }{4}-\cos 2\beta \sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sin 2\beta -\cos 2\beta }{\sqrt{2}}$；两处系数搞反会得 $\frac{24-7}{25\sqrt{2}}$ 之外的其他值，最后必须分母有理化。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换求值题，与 2012 年重庆卷文第 5 题、2013 年上海卷文第 9 题同族。

结论推广：目标角与已知角呈线性组合时，令已知角为 $\beta$ 整体换元，把问题化为”知 $\beta$ 的一个三角值求 $p\beta +q$“的标准型。

方法推广：三角求值先做角的配凑（目标角 = 已知角的倍数 ± 特殊角），再套和差与倍角公式，收尾检查是否需分母有理化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-05 单-三角恒等变换求值
• 2013-上海卷文-09 填-二倍角求值
• 2012-辽宁卷文-06 单-同角三角函数求值