2010-重庆卷理-09 单-排列组合

本题导读

本题是一道较为复杂的排列组合应用题。题目同时给出了“相邻”与“特殊位置有限制”的两类约束，核心在于综合运用“捆绑法”处理相邻元素，并用“容斥原理”精确排除不合题意的方案。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(理)） 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有()

A. 504 种　　　　B. 960 种　　　　C. 1008 种　　　　D. 1108 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 优先满足主要条件：将甲、乙“捆绑”看作一个整体，内部有 $A_2^2$ 种顺序，与其余 5 人共 6 个元素进行全排列，记此方案全集为 $S$。

2. 设定限制事件：设事件 $A$ 为“丙在1日”，事件 $B$ 为“丁在7日”。

3. 应用容斥原理：所求方案数即为满足甲乙相邻的总数中，减去丙在1日的方案数，减去丁在7日的方案数，再加上两限制同时发生的方案数，即 $|S|-|A|-|B|+|A\cap B|$。

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算甲、乙相邻的所有基本方案数 $|S|$： 将甲、乙捆绑，连同其余 5 人共 6 个元素进行全排列，方案数为 $A_6^6\cdot A_2^2=720\times 2=1440$ 种。 第二步：计算满足甲乙相邻且“丙排在 10 月 1 日”的方案数 $|A|$： 丙固定在 1 日，余下 6 天安排包括【甲乙】块在内的 5 个元素，方案数为 $A_5^5\cdot A_2^2=120\times 2=240$ 种。 第三步：计算满足甲乙相邻且“丁排在 10 月 7 日”的方案数 $|B|$： 同理，由对称性可知方案数为 $A_5^5\cdot A_2^2=240$ 种。 第四步：计算满足甲乙相邻且“丙在 1 日、丁在 7 日”的冲突方案数 $|A\cap B|$： 丙固定在 1 日，丁固定在 7 日，余下中间 5 天安排包括【甲乙】块在内的 4 个元素，方案数为 $A_4^4\cdot A_2^2=24\times 2=48$ 种。 第五步：利用容斥原理求符合题意的总方案数 $N$： $N=|S|-|A|-|B|+|A\cap B|=1440-240-240+48=1008$ 种。 答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：捆绑法解决相邻问题，容斥原理解决多重否定位置限制问题。

2. 核心方法：正难则反，分类与间接法相结合。

3. 避坑指南：在扣除不合题意的方案时，容易忽略“丙在1日且丁在7日”被重复扣除的情况，必须通过容斥原理加上交集。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题由经典的排队问题深化而来，是高考对特殊位置与特殊元素排列组合控制能力的最高要求体现。

2. 结论推广：对于包含相邻元素且伴随两个位置独立限制的排列问题，标准通法为：符合要求数 = 总数 - 限制1 - 限制2 + 限制1和2共同发生。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用