2010-陕西卷理-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数化简及其在复平面内对应点的象限判定。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(理)） 复数 $z=\frac{\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$ 在复平面上对应的点位于()

A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限

🔍【思路分析】

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1. 利用分母实数化化简复数 $z$。
2. 确定复数 $z=x+y\mathrm{i}$ 的实部与虚部符号，判断对应点 $(x,y)$ 所在象限。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

将复数 $z=\frac{\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$ 的分子分母同乘以 $1-\mathrm{i}$： $z=\frac{\mathrm{i}(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{\mathrm{i}-{\mathrm{i}}^2}{1-{\mathrm{i}}^2}=\frac{\mathrm{i}+1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}$

复数 $z$ 在复平面内对应的点坐标为： $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

因为横坐标 $\frac{1}{2}>0$，纵坐标 $\frac{1}{2}>0$，所以该点位于第一象限。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的代数除法运算及复平面点的表示 $z=a+b\mathrm{i}\leftrightarrow (a,b)$。
2. 核心方法：分母实数化：分子分母同乘共轭复数。
3. 避坑指南：注意 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 计算中的符号化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：基础复数概念题。
2. 结论推广：复数 $z=\frac{\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{1}{2}(1+\mathrm{i})$ 的模为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，辐角主值为 $\frac{\pi }{4}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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