2010-陕西卷理-11 填-向量

本题导读

本题考查平面向量的加法坐标运算及两向量平行的充要条件（坐标交叉相乘相减等于零）。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(理)） 已知向量 $\mathbf{a}=(2,-1)$，$\mathbf{b}=(-1,m)$，$\mathbf{c}=(-1,2)$，若 $(\mathbf{a}+\mathbf{b})\parallel \mathbf{c}$，则 $m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先计算向量 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 的坐标。
2. 根据两向量平行 $\mathbf{u}\parallel \mathbf{v}⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$ 列关于 $m$ 的方程求解。

✅【答案】

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$-3$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 的坐标 已知 $\mathbf{a}=(2,-1)$，$\mathbf{b}=(-1,m)$，则： $\mathbf{a}+\mathbf{b}=(2+(-1),-1+m)=(1,m-1)$

第二步：利用向量平行列方程 已知 $\mathbf{c}=(-1,2)$，且 $(\mathbf{a}+\mathbf{b})\parallel \mathbf{c}$。 由向量平行的坐标公式： $1\times 2-(m-1)\times (-1)=0$ $2+(m-1)=0⟹m+1=0⟹m=-3$

故答案为：$-3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量加法坐标公式与向量平行的充要条件。
2. 核心方法：交叉相乘法 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$。
3. 避坑指南：注意交叉相乘相减时的负号，避免将 $-(m-1)(-1)$ 符号算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：基础向量坐标运算题。
2. 结论推广：对 $\mathbf{u}=(x_1,y_1),\mathbf{v}=(x_2,y_2)$，$\mathbf{u}\parallel \mathbf{v}⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$；$\mathbf{u}\perp \mathbf{v}⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心