2010-陕西卷理-14 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划在实际资源优化配置问题中的应用，通过建立二元一次不等式组并求解目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(理)） 铁矿石 $A$ 和 $B$ 的含铁率 $a$，冶炼每万吨铁矿石的 ${\mathrm{CO}}_2$ 排放量 $b$ 及每万吨铁矿石的价格 $c$ 如下表：

	$a$	$b$（万吨）	$c$（百万元）
$A$	$50\%$	$1$	$3$
$B$	$70\%$	$0.5$	$6$

某冶炼厂至少要生产 $1.9$（万吨）铁，若要求 ${\mathrm{CO}}_2$ 的排放量不超过 $2$（万吨），则购买铁矿石的最少费用为$\underline{}$（百万元）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设购买铁矿石 $A$ 为 $x$ 万吨，铁矿石 $B$ 为 $y$ 万吨（$x\ge 0,y\ge 0$）。
2. 根据生产铁至少 $1.9$ 万吨，得：$0.5x+0.7y\ge 1.9⟹5x+7y\ge 19$。
3. 根据 ${\mathrm{CO}}_2$ 排放量不超过 $2$ 万吨，得：$x+0.5y\le 2⟹2x+y\le 4$。
4. 目标函数为购买总费用 $z=3x+6y$，画出可行域求最小值。

✅【答案】

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$15$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：设变量并列出约束条件 设购买铁矿石 $A$ $x$ 万吨，铁矿石 $B$ $y$ 万吨。

约束条件为： $\{\begin{array}{l}0.5x+0.7y\ge 1.9\\ x+0.5y\le 2\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}5x+7y\ge 19\text{(1)}\\ 2x+y\le 4\text{(2)}\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

目标函数为费用： $z=3x+6y$

第二步：画可行域并求交点（顶点） 联立边界直线 ① 和 ② 方程： $\{\begin{array}{l}5x+7y=19\\ 2x+y=4⟹y=4-2x\end{array}$ 代入 ①： $5x+7(4-2x)=19⟹5x+28-14x=19⟹-9x=-9⟹x=1$ 解得 $y=4-2(1)=2$。 故两直线交点为 $P(1,2)$。

检验可行域顶点：

• $x=0$ 时，① 得 $y\ge \frac{19}{7}\approx 2.71$，② 得 $y\le 4$，有交点 $(0,4)$ 与 $\left(0,\frac{19}{7}\right)$；
• 顶点为 $(0,4),\left(0,\frac{19}{7}\right),(1,2)$。

第三步：代入顶点计算最值

• 当 $x=1,y=2$ 时： $z=3(1)+6(2)=3+12=15$
• 当 $x=0,y=\frac{19}{7}$ 时： $z=3(0)+6\left(\frac{19}{7}\right)=\frac{114}{7}\approx 16.29$
• 当 $x=0,y=4$ 时： $z=3(0)+6(4)=24$

比较可知，最少费用为 $15$ 百万元。

故答案为：$15$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划建模与目标函数在可行域顶点取极值。
2. 核心方法：审题写出元与不等式组 $\to$ 求交点坐标 $\to$ 代入顶点比大小。
3. 避坑指南：计算 $0.5x+0.7y\ge 1.9$ 时同乘 $10$ 避免小数运算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：来源于生产优化配置与低碳环保约束的实际应用建模题。
2. 结论推广：在线性规划实际应用题中，极值点必在可行域的边界顶点上取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2012-浙江卷文-21 解-三次函数单调性与不等式证明