2010-陕西卷理-18 解-二面角

本题导读

本题考查立体几何中线面垂直的证明与面面夹角的计算。第一问利用中位线平行与勾股定理逆定理证线线垂直；第二问通过建系求法向量的夹角余弦值计算平面夹角。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(理)） 18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A P = A B = 2$ ， $B C = 22$ ， $E, F$ 分别是 $A D, P C$ 的中点.

(1) 证明： $P C ⊥$ 平面 $B E F$ ；

(2) 求平面 $B E F$ 与平面 $B A P$ 夹角的大小.

🔍【思路分析】

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第 (1) 问：连接 $A C$ ，在 $△ P A C$ 中， $F$ 为 $P C$ 中点，若要证 $P C ⊥$ 平面 $B E F$ ，可证 $E F ∥ P A$ （不成立）或证 $P C ⊥ E F$ 及 $P C ⊥ B E$ 。

在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 中点，用勾股定理算得 $B E^{2} + C E^{2} = B C^{2} ⟹ B E ⊥ E C$ ；由 $P A ⊥ B E ⟹ B E ⊥$ 平面 $P A C ⟹ B E ⊥ P C$ 。

连接 $A C$ ， $E, F$ 为 $A D, P C$ 中点，推导 $E F ⊥ P C$ ，从而证得 $P C ⊥$ 平面 $B E F$ 。

第 (2) 问：以 $A$ 为原点， $A B, A D, A P$ 为 $x, y, z$ 轴建立空间直角坐标系。第 (1) 问已证 $P C ⊥$ 平面 $B E F$ ，故 $P C$ 即为平面 $B E F$ 的一个法向量；平面 $B A P$ 的法向量为 $A D$ ，计算两法向量夹角的余弦值，求出平面夹角。

✅【答案】

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因此𝑎3 = 1 + 2𝑑，𝑎9 = 1 + 8𝑑

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： $P C ⊥$ 平面 $B E F$

因为底面 $A B C D$ 是矩形， $E$ 是 $A D$ 的中点：

$A B = 2$

$A D = B C = 22 ⟹ A E = E D = 2$

在 $△ A B E$ 中，由勾股定理： $B E^{2} = A B^{2} + A E^{2} = 2^{2} + (2)^{2} = 4 + 2 = 6$

在 $△ C D E$ 中，由勾股定理： $C E^{2} = C D^{2} + D E^{2} = 2^{2} + (2)^{2} = 4 + 2 = 6$

在 $△ B C E$ 中： $B E^{2} + C E^{2} = 6 + 6 = 12 = (22)^{2} = B C^{2}$ 由勾股定理逆定理得： $B E ⊥ C E$ 。

因为 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B E \subset$ 平面 $A B C D$ ，所以： $P A ⊥ B E$

因为 $C E \cap P A = C$ ，且 $C E, P A \subset$ 平面 $P A C$ ，所以 $B E ⊥$ 平面 $P A C$ 。因为 $P C \subset$ 平面 $P A C$ ，所以： $B E ⊥ P C (1)$

取 $A C$ 中点 $O$ ，连接 $E O, F O$ 。在 $△ A D C$ 中， $O, E$ 分别是 $A C, A D$ 的中点，所以 $O E ∥ C D$ 且 $O E = \frac{1}{2} C D = 1$ 。在 $△ P A C$ 中， $O, F$ 分别是 $A C, P C$ 的中点，所以 $O F ∥ P A$ 且 $O F = \frac{1}{2} P A = 1$ 。

因为 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，所以 $O F ⊥$ 平面 $A B C D$ ，则 $O F ⊥ O E$ 。在 $Rt △ F O E$ 中： $E F^{2} = O E^{2} + O F^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2$

在 $Rt △ P A C$ 中， $A C = A B^{2} + B C^{2} = 4 + 8 = 23$ ，所以 $P C = P A^{2} + A C^{2} = 4 + 12 = 4$ 。 $F$ 为 $P C$ 中点，故 $P F = F C = 2$ 。

在 $△ P E C$ 中，利用勾股定理计算 $P E^{2} = P A^{2} + A E^{2} = 4 + 2 = 6$ 。在 $△ P E C$ 中： $E F^{2} + F C^{2} = 2 + 2^{2} = 6 = P E^{2}$ 由勾股定理逆定理得： $E F ⊥ P C$ $(2)$

由 ① ②，因为 $B E \cap E F = E$ ，且 $B E, E F \subset$ 平面 $B E F$ ，所以 $P C ⊥$ 平面 $B E F$ 。

(2) 求平面 $B E F$ 与平面 $B A P$ 夹角的大小

以 $A$ 为原点，以射线 $A B, A D, A P$ 分别为 $x, y, z$ 轴的正半轴建立空间直角坐标系 $A - x y z$ 。

各点坐标为：

$A (0, 0, 0)$

$B (2, 0, 0)$

$C (2, 22, 0)$

$P (0, 0, 2)$

$E (0, 2, 0)$

由 (1) 知， $P C ⊥$ 平面 $B E F$ ，所以向量 $P C$ 是平面 $B E F$ 的一个法向量： $P C = C - P = (2, 22, - 2)$

因为 $A D ⊥$ 平面 $B A P$ ，所以向量 $A D$ 是平面 $B A P$ 的一个法向量： $A D = (0, 22, 0)$

设平面 $B E F$ 与平面 $B A P$ 的夹角为 $θ$ （ $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ ）： $cos θ = \frac{∣ P C \cdot A D ∣}{∣ P C ∣ \cdot ∣ A D ∣}$

计算向量点积与模长： $P C \cdot A D = 2 \times 0 + 22 \times 22 + (- 2) \times 0 = 8$ $∣ P C ∣ = 2^{2} + (22)^{2} + (- 2)^{2} = 4 + 8 + 4 = 16 = 4$ $∣ A D ∣ = 22$

代入公式： $cos θ = \frac{8}{4 \times 2 2} = \frac{8}{8 2} = \frac{2}{2}$

因为 $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ ，所以 $θ = 4 5^{\circ}$ （或 $\frac{π}{4}$ ）。

故平面 $B E F$ 与平面 $B A P$ 夹角的大小为 $4 5^{\circ}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直判定定理及利用法向量夹角求两平面夹角。

核心方法：勾股定理逆定理证垂直；利用第 (1) 问垂直结论直接提取平面法向量 $P C$ 。

避坑指南：第 (2) 问求两平面夹角时，最终结果取正值 $cos θ \in [0, 1]$ ，其角度大小位于 $[0, \frac{π}{2}]$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直角四棱锥中线面垂直与面面角求解的标准综合压轴题。

结论推广：若直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，则直线 $l$ 的方向向量可直接作为平面 $α$ 的法向量，简化求面面角的步骤。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角

2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角

2012-四川卷理-19 解-线面角与二面角

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2010-陕西卷理-18 解-二面角

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