2011-上海卷理-09 填-分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列性质，以及随机变量概率之和为 1。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 马老师从课本上抄录一个随机变量 $\xi$ 的概率分布列如下表：

$X$	1	2	3
$P(\xi =x)$	?	!	?

请小牛同学计算 $\xi$ 的数学期望，尽管“!”处无法完全看清，且两个“?”处字迹模糊，但能肯定这两个“?”处的数值相同. 据此，小牛给出了正确答案 $E\xi =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设两个“?”处的概率均为 $p$，“!”处的概率为 $q$。
2. 由概率分布列的性质得 $2p+q=1⟹q=1-2p$。
3. 套用数学期望公式 $E\xi =1\cdot p+2\cdot q+3\cdot p$。
4. 代入化简，发现参数 $p$ 恰好相互抵消，计算出常数结果；或直接利用分布列关于 $X=2$ 对称直接得出 $E\xi =2$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

方法一（定义化简法）： 设两个“?”处的概率均为 $p$，“!”处的概率为 $q$。 根据离散型随机变量分布列的性质，所有可能取值的概率和为 1，即： $p+q+p=1⟹2p+q=1⟹q=1-2p$ 由离散型随机变量数学期望的计算公式，得： $E\xi =1\times p+2\times q+3\times p=4p+2q$ 将 $q=1-2p$ 代入上式，得： $E\xi =4p+2(1-2p)=4p+2-4p=2$

方法二（对称性分析法）： 因为随机变量 $\xi$ 的取值 $1,2,3$ 关于中心值 2 对称， 且对应的概率分布中 $P(\xi =1)=P(\xi =3)=?$，即概率关于 $X=2$ 对称分布。 由随机变量数学期望的几何意义与对称性可知，其数学期望必等于对称中心： $E\xi =2$ 故答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分布列全概率和 $\sum P_i=1$、数学期望计算公式 $E\xi =\sum x_i{P}_i$。
• 核心方法：
• 设元消元法：设未知概率后代入期望式消去未知数；
• 对称性法：若离散型随机变量的取值和概率同时关于某数值对称，则期望直接等于对称轴处的值。
• 避坑指南：切勿受未知符号“?”和“!”干扰，严格按照期望定义展开即可观察到参数完全对消。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版/沪教版高二概率统计中数学期望性质与分布列规范性的逆向设计题。
• 结论推广：若随机变量 $X$ 的取值为等差数列 $a-d,a,a+d$，且两侧对称位置概率相等，则其数学期望恒有 $EX=a$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2008-大纲卷I理-20
• 2008-福建卷理-20