2011-上海卷理-14 填-两点距离

本题导读

本题考查点到原点的距离公式，以及二分法搜索与闭区间套定理。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 已知点 $O(0,0),Q_0(0,1)$ 和点 $R_0(3,1)$，记 $Q_0{R}_0$ 的中点为 $P_1$，取 $Q_0{P}_1$ 和 $P_1{R}_0$ 中的一条，记其端点为 $Q_1,R_1$，使之满足 $(|O{Q}_1|-2)(|O{R}_1|-2)<0$；记 $Q_1{R}_1$ 的中点为 $P_2$，取 $Q_1{P}_2$ 和 $P_2{R}_2$ 中的一条，记其端点为 $Q_2,R_2$，使之满足 $(|O{Q}_2|-2)(|O{R}_2|-2)<0$.依次下去，得到 $P_1,P_2,\cdots ,P_n,\cdots$，则 ${\lim }_{n\to \infty }|Q_0{P}_n|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析迭代几何意义：

• 线段 $Q_0{R}_0$ 位于水平直线 $y=1$ 上，端点为 $Q_0(0,1),R_0(3,1)$；
• 点到原点距离 $|OM|$ 从左向右是单调递增的，其中 $|O{Q}_0|=1<2$，而 $|O{R}_0|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\approx 3.16>2$；
• 条件 $(|O{Q}_k|-2)(|O{R}_k|-2)<0$ 表示二分区间 $[Q_k,R_k]$ 恒跨越满足距离原点为 2 的分界点；
• 每次取中点并保留异号子区间，这正是二分法寻找方程 $|OX|=2$ 的根。

2. 确定极限点位置：

• 当 $n\to \infty$ 时，区间长度趋于 0，点列 $P_n$ 强收敛于点 $P_{\infty }$；
• 点 $P_{\infty }$ 既在线段 $Q_0{R}_0$ 上（即直线 $y=1$），又满足到原点距离 $|O{P}_{\infty }|=2$；
• 解方程求出 $P_{\infty }$ 的坐标，进而求出线段 $|Q_0{P}_{\infty }|$ 的长度。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

考查点 $M(x,1)$ 在线段 $Q_0{R}_0$ 上的运动，其中 $x\in [0,3]$。 点 $M$ 到原点 $O(0,0)$ 的距离为： $d(x)=|OM|=\sqrt{x^2+1^2}=\sqrt{x^2+1}$ 定义连续函数 $F(x)=d(x)-2=\sqrt{x^2+1}-2$：

• 在端点 $Q_0(0,1)$ 处：$F(0)=\sqrt{0+1}-2=-1<0$（即 $|O{Q}_0|<2$）；
• 在端点 $R_0(3,1)$ 处：$F(3)=\sqrt{9+1}-2=\sqrt{10}-2>0$（即 $|O{R}_0|>2$）。 因为 $d(x)$ 在 $[0,3]$ 上严格单调递增，所以在 $[0,3]$ 上存在唯一的点 $P_{\infty }(x^{\ast },1)$，使得： $|O{P}_{\infty }|=2$ 即： $\sqrt{(x^{\ast }{)}^2+1}=2⟹(x^{\ast }{)}^2+1=4⟹(x^{\ast }{)}^2=3$ 因为 $x^{\ast }\in [0,3]$，所以： $x^{\ast }=\sqrt{3}$ 即极限点为 $P_{\infty }(\sqrt{3},1)$。

根据二分法区间收缩过程： 初始区间端点满足 $F(x_{Q_0})F(x_{R_0})<0$； 每次选取的中点 $P_n$ 逐步缩小包含零点 $x^{\ast }=\sqrt{3}$ 的区间， 区间长度在每一步减半：$|Q_n{R}_n|=\frac{|Q_0{R}_0|}{2^n}\to 0(n\to \infty )$。 根据闭区间套定理，中点序列 $\{P_n\}$ 必然收敛于唯一的零点： ${\lim }_{n\to \infty }{P}_n=P_{\infty }(\sqrt{3},1)$ 因为 $Q_0$ 的坐标为 $(0,1)$，所以： ${\lim }_{n\to \infty }|Q_0{P}_n|=|Q_0{P}_{\infty }|=\sqrt{(\sqrt{3}-0{)}^2+(1-1{)}^2}=\sqrt{3}$ 故答案为：$\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二分法与零点存在性定理、点列极限、直线与圆的交点。
• 核心方法：
• 剥去算法外壳：识别出“$(|OQ|-2)(|OR|-2)<0$ + 取中点二分”即为二分法求根；
• 几何方程直接求解：极限点即为圆 $x^2+y^2=4$ 与直线 $y=1$ 在第一象限的交点 $(\sqrt{3},1)$。
• 避坑指南：无需通过繁琐递推公式逐项计算 $P_1,P_2,P_3$ 的具体坐标，直接利用单调性与收敛性求极限位置即可秒解。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：计算数学中非线性方程数值解法的“二分搜索法（Bisection Method）”与实分析中“闭区间套定理”在解析几何中的具象化呈现。
• 结论推广：在任意单调实连续函数曲线与水平线交点中，二分迭代序列 $\{P_n\}$ 的极限恒为曲线与目标等值线的交点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-05 单-抛物线焦点距离
• 2013-福建卷文-04 单-双曲线渐近线距离
• 2013-重庆卷文-04 单-圆最短距离