2013-福建卷文-04 单-双曲线渐近线距离

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(文)） 双曲线 $x^2-y^2=1$ 的顶点到其渐近线的距离等于()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 顶点 $(\pm 1,0)$；渐近线 $y=\pm x$，即 $x-y=0$。
2. $d=\frac{|1-0|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

由 $x^2-y^2=1$ 知 $a^2=b^2=1$，顶点为 $(\pm 1,0)$，渐近线为 $y=\pm x$。 取顶点 $(1,0)$ 与渐近线 $x-y=0$，由点到直线的距离公式 $d=\frac{|1\times 1-1\times 0|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ 由对称性，另一顶点到另一条渐近线的距离相同。 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的顶点与渐近线

核心方法：$x^2-y^2=1$ 中 $a=b=1$，顶点 $(1,0)$ 到渐近线 $y=x$ 的距离 $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

避坑指南：等轴双曲线的渐近线是 $y=\pm x$——别写成 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 后又把 $b^2=c^2-a^2$ 里的 $c$ 代进去；点到直线距离公式分母是 $\sqrt{A^2+B^2}$，别丢根号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线的简单几何性质与点到直线的距离（经典小综合）。

结论推广：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$；点 $(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

方法推广：读方程定 $a,b$ → 写顶点与渐近线 → 套距离公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-04 单-双曲线渐近线
• 2014-大纲卷文-11 单-双曲线焦距
• 2014-四川卷文-11 填-双曲线离心率