2011-北京卷理-01 单-并集

本题导读

本题考查集合的并集运算，以及集合间的包含关系。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(理)） 已知集合 $P=\{x\mid x^2⩽1\}$，$M=\{a\}$.若 $P\cup M=P$，则 $a$ 的取值范围是 ()

A. $(-\infty ,-1]$　　B. $[1,+\infty )$　　C. $[-1,1]$　　D. $(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 解不等式 $x^2⩽1$ 求出集合 $P$。
2. 由 $P\cup M=P$ 得出 $M\subseteq P$，即 $a\in P$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解： 由 $x^2⩽1$ 得 $-1⩽x⩽1$，故 $P=[-1,1]$。 因为 $P\cup M=P$，所以 $M\subseteq P$。 又 $M=\{a\}$，所以 $a\in P$，即 $a\in [-1,1]$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：集合的运算与包含关系。
• 核心方法：利用 $A\cup B=A⟺B\subseteq A$ 进行等价转化。
• 避坑指南：切勿混淆并集定义与交集定义。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自教材集合运算基础例题。
• 结论推广：若 $A\cup B=A$，则 $B\subseteq A$；若 $A\cap B=A$，则 $A\subseteq B$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1989-全国卷理-14 填-绝对值不等式
• 2013-上海卷文-16 单-含参集合并集
• 2013-广东卷理-09 填-一元二次不等式