2011-四川卷文-12 单-向量面积计数

本题导读

本题考查组合计数，以及平行四边形的面积（向量叉乘）。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(文)） 在集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 中任取一个偶数 $a$ 和一个奇数 $b$ 构成以原点为起点的向量 $\alpha =(a,b)$. 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为 $n$，其中面积等于 $2$ 的平行四边形的个数为 $m$，则 $\frac{m}{n}=$ ()

A. $\frac{2}{15}$　　　　　　B. $\frac{1}{5}$　　　　　　C. $\frac{4}{15}$　　　　　　D. $\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：偶数 $\{2,4\}$、奇数 $\{1,3,5\}$ 配成 6 个向量
2. 步骤2：$n=C_6^2=15$
3. 步骤3：逐一算叉积绝对值
4. 步骤4：面积等于 $2$ 的有 3 对

✅【答案】

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$\frac{1}{5}$。选 \textbf{B}

✍【详细解析】

Abstract

偶数 $a\in \{2,4\}$，奇数 $b\in \{1,3,5\}$，共构成 $6$ 个向量： $(2,1)$，$(2,3)$，$(2,5)$，$(4,1)$，$(4,3)$，$(4,5)$。 任取两个向量作平行四边形，$n=C_6^2=15$。 以 $(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$ 为邻边的平行四边形面积为 $|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$。 逐一计算，面积等于 $2$ 的组合恰有三对： $(2,1)$ 与 $(4,1)$：$|2\times 1-4\times 1|=2$； $(2,1)$ 与 $(4,3)$：$|2\times 3-4\times 1|=2$； $(2,3)$ 与 $(4,5)$：$|2\times 5-4\times 3|=|10-12|=2$。 故 $m=3$，$\frac{m}{n}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：组合数计数 $C_6^2$；平面向量叉积绝对值表示平行四边形面积。

核心方法：先列举向量集 → 组合计数 → 叉积公式逐一筛选。

避坑指南：面积公式是 $|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$，两个下标交叉后相减，顺序配反只影响符号不影响面积，但漏绝对值或漏列举 $(2,3),(4,5)$ 这一对会数错 $m$；共线向量为零面积，本题没有共线对。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：「向量构造 + 计数 + 面积」是排列组合与向量的小综合，2011 北京文 14、2013 四川理 12 与本题同为平面向量背景的计数题。

结论推广：若改问面积不超过 $4$ 的个数，只需把叉积绝对值 $\le 4$ 的对数重新数出（面积为 $4$ 的有 3 对，共线 $0$ 的 0 对），计数框架不变。

方法推广：向量组计数题按「列举 — 求总数 — 定筛选量 — 逐一验算」四步走，叉积表格化（行列表格）可防漏防重。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-14 填-平行四边形整点
• 2013-四川卷理-12 填-向量加法的平行四边形法则
• 2014-四川卷文-20 解-椭圆平行四边形