2011-北京卷文-14 填-平行四边形整点

本题导读

本题考查平面区域内的整点计数，以及分类讨论。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 设 $A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(t+4,3)$，$D(t,3)$（$t\in \mathrm{R}$）．记 $N(t)$ 为平行四边形 $ABCD$ 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则 $N(0)=$ $\underline{}$；$N(t)$ 的所有可能取值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：对 $y=1,2$ 两层
2. 步骤2：横坐标区间 $\left(\frac{ty}{3},4+\frac{ty}{3}\right)$ 内整点各为 $3$ 或 $4$ 个

✅【答案】

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$6$；$6$，$7$，$8$

✍【详细解析】

Abstract

$N(0)$：$ABCD$ 为矩形 $0<x<4$，$0<y<3$，内部整点 $(1,1),(2,1),(3,1),(1,2),(2,2),(3,2)$ 共 $6$ 个。

一般地 $ABCD$ 是底边水平、高为 $3$ 的平行四边形，内部整点只可能在 $y=1$、$y=2$ 两层。

$y=1$ 层：$x\in \left(\frac{t}{3},4+\frac{t}{3}\right)$；$y=2$ 层：$x\in \left(\frac{2t}{3},4+\frac{2t}{3}\right)$。两区间长均为 $4$（开区间）。

长度为 $4$ 的开区间内整点个数：端点为整数时 $3$ 个（如 $(0,4)$），端点非整数时 $4$ 个（如 $(0.5,4.5)$）。

两层各有 $3$ 或 $4$ 个，故 $N(t)\in \{6,7,8\}$；三种情形（$t=0$、$t=1$、$t=\frac{3}{2}$ 等均可实现）都能取到。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：整点计数；开区间内整数个数的分类

核心方法：按 $y$ 分层：每层横坐标是长度不变的滑动开区间，整点数只与端点是否为整数有关

避坑指南：“内部不含边界”：端点为整数时该整点不计入，个数是 $3$ 不是 $4$；两层区间端点的整数性可以不同（$t$ 的取值使两分点 $\frac{t}{3},\frac{2t}{3}$ 独立变化），故 $7$ 也可取。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：整点计数是新定义类压轴填空的常客，与 2012-北京卷文-20（数表新定义极值）、2013-北京卷文-20（数列新定义）同族。

结论推广：推广：底长 $L$、高 $h$ 的滑动平行四边形内整点数随 $t$ 周期变化；每层个数为 $\lfloor L\rfloor$ 或 $\lfloor L\rfloor +1$，总范围为两者组合。

方法推广：整点计数题：把二维问题压成一维（按 $y$ 分层），分析”滑动开区间内整数个数”的两种情形，再组合各层。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-20 解-数表新定义极值
• 2013-北京卷文-20 解-数列新定义