2011-四川卷理-03 单-充要条件

本题导读

本题考查空间两直线的位置关系，以及空间平行线的传递性与垂直判定。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(理)） $l_1,l_2,l_3$ 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ()

A. $l_1\perp l_2,l_2\perp l_3⟹l_1\parallel l_3$

B. $l_1\perp l_2,l_2\parallel l_3⟹l_1\perp l_3$

C. $l_1\parallel l_2\parallel l_3⟹l_1,l_2,l_3$ 共面

D. $l_1,l_2,l_3$ 共点 $⟹l_1,l_2,l_3$ 共面

🔍【思路分析】

破题导航

1. 考查空间平行线与垂直的性质：若一条直线垂直于两平行线中的一条，则它必垂直于另一条（这是空间两直线垂直的定义与基本定理），B 正确。
2. 寻找其他选项的反例（借助正方体棱）：

• A：正方体中从同一顶点出发的三条棱互相垂直，满足 $l_1\perp l_2,l_2\perp l_3$，但 $l_1\perp l_3$，不平行；
• C：正方体的三条平行的侧棱不共面；
• D：正方体从同一顶点出发的三条棱交于一点，但不共面。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

• 对于 A 选项：在正方体中，若 $l_1,l_2,l_3$ 分别为长、宽、高所在的三条棱，满足 $l_1\perp l_2$ 且 $l_2\perp l_3$，但此时 $l_1\perp l_3$，故 A 错误；
• 对于 B 选项：由空间两异面或共面直线的夹角定义，直线 $l_2\parallel l_3$，则直线 $l_1$ 与 $l_3$ 的夹角等于 $l_1$ 与 $l_2$ 的夹角。因为 $l_1\perp l_2$，其夹角为 $90^{\circ }$，所以 $l_1\perp l_3$ 恒成立，故 B 正确；
• 对于 C 选项：正方体的三条平行的侧棱两两互相平行，但这三条直线不共面，故 C 错误；
• 对于 D 选项：从正方体同一顶点出发的三条两两垂直的棱相交于同一点，但这三条棱不共面，故 D 错误。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：空间直线的垂直判定、空间两直线所成角定义、反例构造。
• 核心方法：
• 正方体模型法：利用正方体的棱与面对角线快速判断线线、线面位置关系；
• 平移等角性：两平行线与第三条直线的夹角必定相等。
• 避坑指南：容易将平面几何中的“垂直于同一直线的两直线平行”迁移到立体几何中，导致误选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：必修二空间立体几何空间点、线、面位置关系的基本概念考查。
• 结论推广：在空间直角坐标系中，设直线方向向量分别为 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$，若 ${\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2=0$ 且 ${\mathbf{v}}_2=\lambda {\mathbf{v}}_3$，则 ${\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_3=\frac{1}{\lambda }({\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2)=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2008-辽宁卷理-11
• 2010-重庆卷文-09 单-异面垂直等距轨迹
• 2014-江西卷理-09 单-相切