2011-四川卷理-06 单-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理的边角互化，以及余弦定理的变形应用。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(理)） 在 $△ABC$ 中，${\sin }^{2}A⩽{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C-\sin B\sin C$，则 $A$ 的取值范围是 ()

A. $\left(0,\frac{\pi }{6}\right]$　　　　B. $\left[\frac{\pi }{6},\pi \right)$　　　　C. $\left(0,\frac{\pi }{3}\right]$　　　　D. $\left[\frac{\pi }{3},\pi \right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设三角形外接圆半径为 $R$，由正弦定理将 $\sin A,\sin B,\sin C$ 转化为边长 $a,b,c$： $a^2⩽b^2+c^2-bc$。
2. 变形为 $b^2+c^2-a^2⩾bc$。
3. 两边同除以 $2bc$ 得到余弦定理形式：$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}⩾\frac{1}{2}$。
4. 结合三角形内角范围 $A\in (0,\pi )$ 与余弦函数在 $(0,\pi )$ 上的单调递减性，确定角 $A$ 的取值范围。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

设 $△ABC$ 外接圆的半径为 $R$。 由正弦定理，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$， 即 $\sin A=\frac{a}{2R},\sin B=\frac{b}{2R},\sin C=\frac{c}{2R}$。 代入已知不等式 ${\sin }^{2}A⩽{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C-\sin B\sin C$，得： ${\left(\frac{a}{2R}\right)}^2⩽{\left(\frac{b}{2R}\right)}^2+{\left(\frac{c}{2R}\right)}^2-\left(\frac{b}{2R}\right)\left(\frac{c}{2R}\right)$ 两边同乘 $4R^2$，得： $a^2⩽b^2+c^2-bc$ 移项整理得： $b^2+c^2-a^2⩾bc$ 两边同除以 $2bc$（因为 $b>0,c>0$，所以 $2bc>0$）： $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}⩾\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$ 由余弦定理可知： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}⩾\frac{1}{2}$ 因为 $A$ 是 $△ABC$ 的内角，所以 $A\in (0,\pi )$。 函数 $y=\cos x$ 在 $(0,\pi )$ 上是单调递减函数， 且 $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$， 所以： $0<A⩽\frac{\pi }{3}$ 即 $A$ 的取值范围是 $\left(0,\frac{\pi }{3}\right]$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正弦定理“角化边”与余弦定理角边代数形式的构造。
• 核心方法：
• 边角转换：利用正弦定理直接消去比值系数化为关于三边的齐次多项式；
• 构造余弦：配凑分母 $2bc$ 代入余弦定理。
• 避坑指南：
• 余弦函数 $y=\cos x$ 在 $(0,\pi )$ 上是严格单调递减的，由 $\cos A⩾\frac{1}{2}$ 推导出的角范围是不等号方向反转：$A⩽\frac{\pi }{3}$，切勿错选为 $\left[\frac{\pi }{3},\pi \right)$（误选 D）；
• 注意三角形内角必须满足大于 0，即左端点为开区间 $(0,\cdot )$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版必修五解三角形章节中正弦定理与余弦定理综合应用的经典小题。
• 结论推广：在 $△ABC$ 中，若 ${\sin }^{2}A⩽{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C-k\sin B\sin C$（$k\in (-2,2)$），则 $\cos A⩾\frac{k}{2}$，角 $A\in \left(0,\arccos \frac{k}{2}\right]$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2014-陕西卷文-16 解-解三角形
• 2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形