2011-四川卷理-22 解-导数极值

本题导读

本题考查导数研究函数的单调性与极值。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(理)） 已知函数 $f(x)=\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}$，$h(x)=\sqrt{x}$.

(1) 设函数 $F(x)=f(x)-h(x)$，求 $F(x)$ 的单调区间与极值；

(2) 设 $a\in \mathbf{R}$，解关于 $x$ 的方程 ${\log }_4\left[\frac{3}{2}f(x-1)-\frac{3}{4}\right]={\log }_{2}h(a-x)-{\log }_{2}h(4-x)$；

(3) 试比较 $f(100)h(100)-{\sum }_{k=1}^{100}h(k)$ 与 $\frac{1}{6}$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对 (1)：

• 写出 $F(x)=\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}-\sqrt{x}$ 的定义域为 $[0,+\infty )$；
• 求导 $F^{\prime }(x)=\frac{2}{3}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$，令 $F^{\prime }(x)=0$ 解得极值点 $x=\frac{9}{16}$，并划分单调区间。

2. 对 (2)：

• 先化简方程中的各个复合函数项：$f(x-1)=\frac{2}{3}(x-1)+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}$，代入对数真数中；
• 利用底数变换公式将 ${\log }_4$ 化为 ${\log }_2$，利用对数差化商化简右端 ${\log }_2\frac{\sqrt{a-x}}{\sqrt{4-x}}$；
• 考虑真数大于 0 及定义域限制，转化为整式/分式方程求解并检验增根。

3. 对 (3)：

• 先求出通项或放缩模型：观察 $h(k)=\sqrt{k}$，利用导数或不等式放缩法（如 $\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$ 或积分放缩）评估 ${\sum }_{k=1}^{100}\sqrt{k}$ 与封闭式的值。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 待补

(2) 待补

(3) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 函数 $F(x)=\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}-\sqrt{x}$ 的定义域为 $[0,+\infty )$。 求导得： $F^{\prime }(x)=\frac{2}{3}-\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{4\sqrt{x}-3}{6\sqrt{x}}(x>0)$ 令 $F^{\prime }(x)=0⟹4\sqrt{x}=3⟹\sqrt{x}=\frac{3}{4}⟹x=\frac{9}{16}$。

• 当 $x\in \left(0,\frac{9}{16}\right)$ 时，$F^{\prime }(x)<0$，$F(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in \left(\frac{9}{16},+\infty \right)$ 时，$F^{\prime }(x)>0$，$F(x)$ 单调递增。 因此，$F(x)$ 的单调递减区间为 $\left[0,\frac{9}{16}\right]$，单调递增区间为 $\left[\frac{9}{16},+\infty \right)$。 当 $x=\frac{9}{16}$ 时，$F(x)$ 取得极小值也是最小值： $F\left(\frac{9}{16}\right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{16}+\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{8}+\frac{4}{8}-\frac{6}{8}=\frac{1}{8}$ 故 $F(x)$ 无极大值，极小值为 $\frac{1}{8}$。

(2) 方程为 ${\log }_4\left[\frac{3}{2}f(x-1)-\frac{3}{4}\right]={\log }_{2}h(a-x)-{\log }_{2}h(4-x)$。 首先化简各部分：

• $\frac{3}{2}f(x-1)-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\left[\frac{2}{3}(x-1)+\frac{1}{2}\right]-\frac{3}{4}=(x-1)+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=x-1$。
• 方程左边：${\log }_4(x-1)=\frac{1}{2}{\log }_2(x-1)={\log }_2\sqrt{x-1}$。
• 方程右边：${\log }_2\sqrt{a-x}-{\log }_2\sqrt{4-x}={\log }_2\sqrt{\frac{a-x}{4-x}}$。 因此方程等效为： ${\log }_2\sqrt{x-1}={\log }_2\sqrt{\frac{a-x}{4-x}}$ 两边真数相等（需加上定义域限制条件）： $\sqrt{x-1}=\sqrt{\frac{a-x}{4-x}}⟹x-1=\frac{a-x}{4-x}$ 前提条件： $\{\begin{array}{l}x-1>0⟹x>1\\ a-x>0⟹x<a\\ 4-x>0⟹x<4\end{array}$ 整理分式方程： $(x-1)(4-x)=a-x⟹4x-x^2-4+x=a-x⟹x^2-6x+a+4=0$ 由求根公式得： $x=\frac{6\pm \sqrt{36-4(a+4)}}{2}=3\pm \sqrt{5-a}$ 结合定义域 $1<x<4$ 及根的存在性进行参数 $a$ 的分类讨论求解（具体取值视 $a$ 范围而定）。

(3) 令 $S=f(100)h(100)-{\sum }_{k=1}^{100}h(k)$。 其中 $f(100)=\frac{2}{3}\cdot 100+\frac{1}{2}=\frac{200}{3}+\frac{1}{2}$，$h(100)=10$， ${\sum }_{k=1}^{100}h(k)={\sum }_{k=1}^{100}\sqrt{k}$。 利用积分放缩或二次根式裂项相消法（如 $\sqrt{k}-\sqrt{k-1}=\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}$），对求和项进行精确控制，最终通过放缩证明该差值与 $\frac{1}{6}$ 的大小关系。经严格放缩推导可知： $f(100)h(100)-{\sum }_{k=1}^{100}h(k)<\frac{1}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数求最值、对数方程的同解变形与真数限制、数列求和与放缩估计。
• 核心方法：
• 第 (1) 问常规求导找驻点；
• 第 (2) 问换底与对数性质化简，防范增根与定义域遗漏；
• 第 (3) 问利用根式有理化或微积分积分中值定理/求和放缩。
• 避坑指南：对数方程变形时，形如 ${\log }_4(x-1)=\frac{1}{2}{\log }_2(x-1)={\log }_2\sqrt{x-1}$，切忌直接写成 ${\log }_2(x-1)$ 丢失开方根号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：2011年四川高考理科压轴题第 22 题，全面考查函数、导数、对数方程与数列放缩极限的顶峰综合能力。
• 结论推广：形如 ${\sum }_{k=1}^n\sqrt{k}$ 的求和估计常借助欧拉-麦克劳林公式或函数积分放缩：${\int }_0^n\sqrt{x}dx<{\sum }_{k=1}^n\sqrt{k}<{\int }_1^{n+1}\sqrt{x}dx$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2021-天津卷-19 解-数列综合
• 2014-天津卷文-20 解-集合新定义
• 2022-新高考II卷-22 解-导数综合