2011-大纲卷文-07 单-三角图象平移重合

本题导读

本题考查三角函数图象的平移变换，以及周期与图象重合的条件。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） 设函数 $f(x)=\cos \omega x(\omega >0)$，将 $y=f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 $\omega$ 的最小值等于 ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $9$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：平移后重合 $\iff$ 平移量为周期的整数倍：$\omega \cdot \frac{\pi }{3}=2k\pi$

✅【答案】

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C$\omega$ 的最小值为 $6$

✍【详细解析】

Abstract

$f\left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left[\omega \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\right]=\cos \left(\omega x-\frac{\omega \pi }{3}\right)$。

要与 $\cos \omega x$ 的图象重合，需 $\frac{\omega \pi }{3}=2k\pi$（$k\in {\mathrm{Z}}^{\ast }$），即 $\omega =6k$。$\omega >0$，故最小值 $\omega =6$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦函数的周期公式；图象重合与周期的关系

核心方法：图象重合 $\iff$ 平移量是周期的整数倍：$\cos (x-\phi )=\cos x$ 当且仅当 $\phi =2k\pi$

避坑指南：重合条件是 $2k\pi$ 不是 $k\pi$（对 $\cos$ 图象而言移动半个周期是上下翻转不是重合）；求”最小值”时 $k$ 取 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：图象平移重合问题与 2012-天津卷文-07（三角函数图象平移）、2013-新课标II卷文-16（三角函数图象平移）同族。

结论推广：推广：$y=A\sin (\omega x+\phi )$ 平移 ${\phi }_0$ 后与原图象重合 $\iff \omega {\phi }_0=2k\pi$；若平移后关于某轴对称则对应 $\pi$ 的奇偶倍条件。

方法推广：平移重合题：把平移量写进相位，令相位差为周期的整数倍，解出 $\omega$ 的通式再取最小正值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-07 单-三角函数图象平移
• 2013-新课标II卷文-16 填-三角函数图象平移
• 2012-安徽卷文-07 单-三角图象平移