2009-福建卷文-19 解-三角函数图象平移

本题导读

考查三角函数图象与变换。(1) 化简得 $\tan \phi =1$，$\phi =\frac{\pi }{4}$；(2) $\omega =3$，$f(x)=\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)$，最小正实数 $m=\frac{\pi }{12}$。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$，其中 $\omega >0$，$|\phi |<\frac{\pi }{2}$.

(1) 若 $\cos \frac{\pi }{4}\cos \phi -\sin \frac{3\pi }{4}\sin \phi =0$，求 $\phi$ 的值；

(2) 在 (1) 的条件下，若函数 $f(x)$ 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 $\frac{\pi }{3}$，求函数 $f(x)$ 的解析式；并求最小正实数 $m$，使得函数 $f(x)$ 的图象左平移 $m$ 个单位所对应的函数是偶函数.

🔍【思路分析】

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1. (1) $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4}$，等式化为 $\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \phi -\sin \phi )=0$，即 $\tan \phi =1$，结合 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$ 得 $\phi =\frac{\pi }{4}$。
2. (2) 相邻两条对称轴间距为半个周期 $\frac{\pi }{\omega }=\frac{\pi }{3}$，得 $\omega =3$。
3. 左移 $m$ 后为 $\sin \left(3x+3m+\frac{\pi }{4}\right)$，展开后 $\cos 3x$ 项系数须为零，即 $\cos \left(3m+\frac{\pi }{4}\right)=0$，解出最小的正 $m$。

✅【答案】

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(1) $\phi =\frac{\pi }{4}$；(2) $f(x)=\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)$，最小正实数 $m=\frac{\pi }{12}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题设，$\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以原等式化为 $\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \phi -\sin \phi )=0$， 即 $\tan \phi =1$。又因为 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$，故 $\phi =\frac{\pi }{4}$。 (2) 正弦函数图象相邻两条对称轴之间的距离为半个周期，即 $\frac{\pi }{\omega }$。 由 $\frac{\pi }{\omega }=\frac{\pi }{3}$ 得 $\omega =3$，所以 $f(x)=\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)$。 左平移 $m$ 个单位后，对应函数为 $g(x)=f(x+m)=\sin \left(3x+3m+\frac{\pi }{4}\right)$。 将其展开为 $g(x)=\sin \left(3m+\frac{\pi }{4}\right)\cos 3x+\cos \left(3m+\frac{\pi }{4}\right)\sin 3x$。 因为 $\cos 3x$ 是偶函数而 $\sin 3x$ 是奇函数，所以必须有 $\cos \left(3m+\frac{\pi }{4}\right)=0$， 即 $3m+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi$，其中 $k\in \mathbf{Z}$。因而 $m=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}$。 满足 $m>0$ 的最小值为 $m=\frac{\pi }{12}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换与图象变换

核心方法：特殊角化简定 $\phi$，半周期定 $\omega$，余弦项归零定 $m$

避坑指南：$\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 化简得 $\tan \phi =1$；相邻对称轴间距 $\frac{\pi }{\omega }$ 是半周期；左移后 $g(x)=\sin (3x+3m+\frac{\pi }{4})$ 为偶函数须 $\cos \left(3m+\frac{\pi }{4}\right)=0$，最小 $m=\frac{\pi }{12}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对称轴间距 = 半个周期，别当成整周期。

结论推广：$\sin (A)\cos$ 型展开后，偶函数要求 $\sin 3x$ 的系数为零。

方法推广：$m$ 的通解 $m=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}$ 中取最小正值的时机要看准。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-07 单-三角图象平移对称
• 2011-大纲卷文-07 单-三角图象平移重合
• 2011-天津卷文-07 单-三角函数图象性质
• 2012-福建卷文-08 单-正弦函数对称轴