2011-天津卷文-14 填-向量和模最小值

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算，以及向量模的最小值。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(文)） 已知直角梯形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，$\angle ADC=90^{\circ }$，$AD=2$，$BC=1$，$P$ 是腰 $DC$ 上的动点，则 $\left|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}\right|$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：建系设点
2. 步骤2：把 $\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}$ 写成坐标
3. 步骤3：纵坐标为定值、横坐标可归零

✅【答案】

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$5$

✍【详细解析】

Abstract

以 $D$ 为原点、$DC$ 为 $x$ 轴建系：$D(0,0)$，$A(0,2)$；设 $C(t,0)$（$t>0$），则 $B(t,1)$。设 $P(s,0)$，$0⩽s⩽t$。

$\overrightarrow{PA}=(-s,2)$，$\overrightarrow{PB}=(t-s,1)$，故 $\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}=(3t-4s,5)$。

$\left|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}\right|=\sqrt{(3t-4s{)}^2+25}⩾5$，当 $s=\frac{3t}{4}$（满足 $0⩽s⩽t$）时取等。故最小值为 $5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的坐标化；模的平方展开与配方

核心方法：建系把几何最小值问题化为坐标函数；横坐标含参可取 $0$，模由纵坐标兜底

避坑指南：纵坐标 $2+3\times 1=5$ 与 $t,s$ 无关，是模的下界来源；若把系数 $3$ 只加在横坐标上或漏写绝对值符号，都会失掉”模”的含义。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量和的模最小值与 2014-浙江卷文-09、2013-上海卷文-14 同族。

结论推广：推广：$\overrightarrow{PA}+k\overrightarrow{PB}$（$k>0$）中，取 $P$ 使横坐标抵消时模最小，最小值为 $y_A+k{y}_B$（建系后纵坐标定值）。

方法推广：向量模最值：首选建系坐标化，把模写成 $\sqrt{f(s{)}^2+c^2}$，令 $f(s)=0$ 验证可取即得最小值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷文-09 单-向量模最小值
• 2013-上海卷文-14 填-向量点积最小