2014-浙江卷文-09 单-向量模最小值

本题导读

$|\mathbf{b}+t\mathbf{a}{|}^2$ 的最小值 $=|\mathbf{b}{|}^2{\sin }^2\theta =1$，故 $\theta$ 确定时 $|\mathbf{b}|=\frac{1}{\sin \theta }$ 唯一确定，选 B。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(文)） 设 $\theta$ 为两个非零向量 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 的夹角.已知对任意实数 $t$，$|\mathbf{b}+t\mathbf{a}|$ 的最小值为 1.则()

A. 若 $\theta$ 确定，则 $|\mathbf{a}|$ 唯一确定　B. 若 $\theta$ 确定，则 $|\mathbf{b}|$ 唯一确定　C. 若 $|\mathbf{a}|$ 确定，则 $\theta$ 唯一确定　D. 若 $|\mathbf{b}|$ 确定，则 $\theta$ 唯一确定

🔍【思路分析】

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$|\mathbf{b}+t\mathbf{a}{|}^2$ 的最小值 $=|\mathbf{b}{|}^2{\sin }^2\theta =1$，故 $\theta$ 确定时 $|\mathbf{b}|=\frac{1}{\sin \theta }$ 唯一确定，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

平方展开（模不涉及运算细节，平方后为二次函数）：

$|\mathbf{b}+t\mathbf{a}{|}^2={\mathbf{a}}^2{t}^2+2(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})t+{\mathbf{b}}^2$。

这是关于 $t$ 的开口向上的二次函数，当 $t=-\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{{\mathbf{a}}^2}$ 时取最小值

${\mathbf{b}}^2-\frac{(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2}{{\mathbf{a}}^2}=|\mathbf{b}{|}^2-|\mathbf{b}{|}^2{\cos }^2\theta =|\mathbf{b}{|}^2{\sin }^2\theta$。

由最小值为 1：$|\mathbf{b}|\sin \theta =1$。

所以 $\theta$ 确定时 $|\mathbf{b}|=\frac{1}{\sin \theta }$ 唯一确定（B 对）；而 $|\mathbf{a}|$ 在式子中根本不出现（A 错）；$|\mathbf{b}|$ 确定时 $\sin \theta =\frac{1}{|\mathbf{b}|}$，$\theta$ 在 $(0,\pi )$ 内一般有两解，不唯一（D 错）；$|\mathbf{a}|$ 确定更给不出 $\theta$（C 错）。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量模的最小值；数量积与夹角的关系

2. 核心方法：“平方法”把模最小值化为 $t$ 的二次函数顶点

3. 避坑指南：最小值表达式 $|\mathbf{b}{|}^2{\sin }^2\theta$ 与 $|\mathbf{a}|$ 无关——这是排除 A、C 的关键；由 $\sin \theta$ 反推 $\theta$ 在 $(0,\pi )$ 内不唯一。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量模的最值问题（2014 浙江理 8 同题），几何背景是”点到直线的距离”。

2. 结论推广: 几何理解：$\mathbf{b}+t\mathbf{a}$ 是点 $\mathbf{b}$ 到直线 $\{t\mathbf{a}\}$ 上各点的向量，最小值即点到直线的距离 $|\mathbf{b}|\sin \theta$。

3. 方法推广: 含参向量的模最值，先平方转二次函数；对称轴 $t=-\frac{a\cdot b}{a^2}$ 处取到，即”垂直时刻”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-08 单-向量模的性质
• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义